Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Однако точность – не единственный повод славить математические теории. Есть еще и предсказательная сила. Приведу всего два простых примера – один из XIX века, другой из ХХ. Первая теория предсказала новое явление, вторая – существование нескольких элементарных частиц.

Джеймс Клерк Максвелл, сформулировавший классическую теорию электромагнетизма, в 1864 году предсказал, что, согласно его теории, переменные электрические или магнитные поля должны генерировать распространяющиеся волны. Эти волны – знакомые всем нам электромагнитные волны, в частности радиоволны, – первым обнаружил немецкий физик Генрих Герц (1857–1894) в результате серии опытов, которые он провел в конце 80-х годов XIX века.

В конце 60-х годов XX века физики Стивен Вайнберг, Шелдон Глэшоу и Абдус Салам разработали теорию, которая объединяет электромагнитное и слабое взаимодействия между элементарными частицами [154] Прекрасное описание можно найти в Weinberg 1993. . Теперь эта теория известна под названием теории электрослабого взаимодействия. Она предсказала существование трех частиц (W +-, W —и Z-бозонов), которые раньше никто не наблюдал. В 1983 году существование этих частиц было однозначно подтверждено в ходе экспериментов на ускорителе (где элементарные частицы сталкивают друг с другом при очень высоких энергиях), которые проделали физики Карло Руббиа и Симон ван дер Мер.

Физик Юджин Вигнер, тот самый, который ввел в обращение фразу «непостижимая эффективность математики», предложил называть все эти неожиданные достижения математических теорий «эмпирическим законом эпистемологии» (эпистемология – дисциплина, изучающая происхождение и пределы знаний). Если бы этот «закон» был неверен, резонно утверждает он, ученым «не хватило бы мужества и уверенности», без которых «нельзя было бы успешно исследовать законы природы». Однако Вигнер не предлагал никаких объяснений эмпирическому закону эпистемологии. Для него это был некий «чудесный дар», за который мы должны быть благодарны, хотя и не представляем себе его происхождение. В сущности, для Вигнера этот «дар» и составлял суть вопроса о непостижимой эффективности математики.

Думаю, мы собрали уже достаточно данных, чтобы хотя бы попытаться ответить на вопросы, которыми задались в самом начале. Почему математика так эффективна, почему она настолько прекрасно объясняет происходящее в мире вокруг нас, что даже позволяет добывать новые знания? И открываем мы ее или изобретаем, в конце концов?

Два вопроса – (1) «Существует ли математика независимо от человеческого разума?» и (2) «Почему математические понятия применимы отнюдь не только в том контексте, в каком их первоначально разрабатывают?» – тесно взаимосвязаны. Тем не менее я постараюсь разобрать их не одновременно, а последовательно, чтобы не усложнять дискуссию.

Прежде всего, вы вправе поинтересоваться, чем считают математику современные математики – изобретением или открытием. Вот как описали положение дел математики Филип Дэвис и Реубен Херш в своей чудесной книге «Математический опыт» (« The Mathematical Experience », Davis and Hersh 1981).

Большинство авторов, пишущих на эту тему, похоже, согласны, что типичный профессиональный математик – платоник [считает математику открытием] по будням и формалист [считает ее изобретением] по воскресеньям. То есть когда он занимается математикой, то убежден, что имеет дело с объективной реальностью, чьи свойства пытается определить. Но все же, когда ему приходится оценивать эту реальность с философской точки зрения, ему оказывается проще всего притвориться, будто он в нее на самом деле не верит.

Честно говоря, у меня складывается впечатление, что это можно сказать и в наши дни про многих математиков и физиков-теоретиков – изменились разве что требования политкорректности, связанные с демографическим составом математиков, и теперь у меня возникает искушение написать везде не «он», а «он или она». Однако же некоторые математики ХХ века в действительности занимали вполне определенную позицию – ту или иную. Скажем, Г. Г. Харди в своей «Апологии математика» (Hardy 1940) отстаивает чисто платоническую точку зрения.

Для меня и, думаю, для большинства математиков существует другая реальность, которую я буду называть «математической реальностью», и среди математиков или философов нет единого мнения относительно природы математической реальности. Одни полагают, что она существует «в умах» и что мы, в некотором смысле, конструируем ее. Другие считают, что она лежит вне нас и не зависит от нас. Человек, который мог бы дать убедительное описание математической реальности, разрешил бы очень многие из труднейших проблем метафизики. Если бы такой человек мог включить в свое описание и физическую реальность, то он разрешил бы все проблемы метафизики. Мне не следовало бы обсуждать любой из этих вопросов, даже если бы я был достаточно компетентен для этого, но я изложу свою позицию догматически, чтобы избежать малейшего недопонимания. Я убежден в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать ее, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши «творения», по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности. Эту точку зрения в той или иной форме разделяли многие философы самого высокого ранга, начиная с Платона, и я буду пользоваться языком, естественным для человека, разделяющего эту точку зрения.