Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Позвольте подчеркнуть, что Гаусс, очевидно, боялся, что последователи Канта, которых он называл «беотийцами» (для древних греков это было синонимом дураков), сочтут это философской ересью. Гаусс продолжал.

С другой стороны, я собирался когда-нибудь все это записать, чтобы эти идеи, по крайней мере, не умерли со мной. Поэтому для меня стало приятной неожиданностью, что мне можно не трудиться, и я очень рад, что опередил меня – причем так поразительно – не кто-нибудь, а сын моего старого друга.

Фаркаш был вполне удовлетворен похвалой Гаусса – он считал, что она «очень приятна», – зато Янош совершенно опустил руки. Почти десять лет он отказывался верить, что Гаусс по праву претендует на первенство, и его отношения с отцом, который, как он считал, поспешил рассказывать Гауссу о его результатах, сильно осложнились. Когда же Янош наконец обнаружил, что Гаусс и в самом деле начал работать над этой задачей еще в 1799 году, то очень озлобился – и все его последующие труды по математике, а он оставил по себе около двадцати тысяч рукописных страниц, по сравнению с юношескими достижениями были весьма посредственны.

Однако в том, что Гаусс и в самом деле много размышлял над неевклидовыми геометриями, сомневаться не приходится [105] Прекрасный рассказ об этом случае с точки зрения жизни и деятельности Гаусса можно найти в Dunnington 1955. Сжатое, но точное описание притязаний Лобачевского и Бойяи на приоритет дано в Kline 1972. Выдержки из переписки Гаусса по поводу неевклидовой геометрии представлены в Ewald 1996. . В дневниковой записи за сентябрь 1799 года он писал: « In principiis geometriae egregios progressus fecimus » («Мы сделали энергичные шаги вперед в области основ геометрии»). В дальнейшем, в 1813 году, он отметил: «В теории параллельных прямых мы сейчас зашли не дальше Евклида. Это partie honteuse [позорная часть] математики, которая рано или поздно должна принять совсем другую форму». Спустя еще несколько лет, 28 апреля 1817 года, он утверждает: «Я все больше и больше прихожу к убеждению, что невозможно доказать, что наша [евклидова] геометрия единственна и неизбежна». Наконец – и в противоположность воззрениям Канта – Гаусс заключил, что евклидову геометрию нельзя считать вселенской истиной и что скорее «придется поставить [евклидову] геометрию не на одну ступень с арифметикой, положение которой априорно, а приблизительно на уровень механики». Подобные выводы сделал независимо и Фердинанд Швейкарт (1780–1859), профессор юриспруденции, о чем он позднее и сообщил Гауссу – примерно в 1818–19 годах. Поскольку ни Гаусс, ни Швейкарт своих результатов не публиковали, традиционно считают, что приоритет принадлежит либо Лобачевскому, либо Бойяи, хотя ни того ни другого нельзя, конечно, считать единственными «творцами» неевклидовых геометрий.

Гиперболическая геометрия поразила мир математики, будто молния, и нанесла сокрушительный удар по восприятию евклидовой геометрии как единственного безошибочного описания пространства. До работ Гаусса-Лобачевского-Бойяи евклидова геометрия и представляла собой, в сущности, мир природы. А когда стало ясно, что можно взять другой, произвольный набор аксиом и построить на нем другой тип геометрии, поначалу это вызвало подозрение, что математика все же плод человеческой изобретательности, а не открытие истин, существующих независимо от человеческого сознания. В то же время коллапс непосредственной связи между евклидовой геометрией и реальным физическим пространством выявил фатальные на первый взгляд недостатки самой идеи математики как языка Вселенной.

Новый удар по привилегированному положению евклидовой геометрии был нанесен, когда один из учеников Гаусса Бернхард Риман показал, что гиперболическая геометрия – не единственно возможная неевклидова геометрия. В блестящей речи, прочитанной в Геттингене 10 июня 1854 года (на рис. 45 показана первая страница опубликованной лекции) Риман представил свои представления «О гипотезе, лежащей в основе геометрии» [106] Перевод на английский этой лекции наряду с другими основополагающими работами по неевклидовым геометриям с полезнейшими примечаниями можно найти в Pesic 2007. . Начинает он с того, что «геометрия предполагает концепцию пространства, а также задает основные принципы построений в пространстве. Она дает лишь номинальные определения этого, в то время как их сущностные характеристики появляются в виде аксиом». Однако Риман отмечает, что «отношения между этими исходными предпосылками остаются неясными, мы не видим, необходима ли связь между ними, и если да, то в какой степени, или даже возможна ли она a priori . Среди возможных геометрических теорий Риман говорил и об эллиптической геометрии – той, какую можно наблюдать на поверхности сферы (рис. 41, с). Отметим, что в такой геометрии кратчайшее расстояние между двумя точками – не прямая линия, а скорее сегмент окружности большого круга, центр которого совпадает с центром сферы. Этим обстоятельством пользуются авиакомпании: полеты из США в Европу следуют не по прямой линии на карте, а скорее по большой окружности, идущей на север. Легко убедиться, что две любые большие окружности пересекаются в диаметрально противоположных точках. Например, два земных меридиана, которые на экваторе кажутся параллельными, на полюсах пересекаются. Таким образом, в отличие от евклидовой геометрии, где через точку вне прямой можно провести лишь одну параллельную этой прямой линию, и гиперболической геометрии, где можно провести как минимум две параллели, в эллиптической геометрии на сфере параллельных линий нет вообще.