Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Чтобы вполне оценить природу этого колоссального мировоззренческого переворота, придется сделать краткий экскурс в историю математики.

До начала ХIX века, если какую-то отрасль знаний и считали апофеозом истинности и несомненности, это была евклидова геометрия, та самая традиционная геометрия, которой учат в школе. Поэтому не приходится удивляться, что великий голландско-еврейский философ Барух Спиноза (1632–1677) назвал свой труд, где предпринял смелую попытку объединить науку, религию, этику и логику «Этика, доказанная в геометрическом порядке». Более того, несмотря на четкие различия между идеальным платоновским миром математических форм и физической реальностью, большинство ученых считали объекты евклидовой геометрии просто дистиллированными абстрактными соответствиями реальных физических предметов. Даже убежденные эмпирики вроде Дэвида Юма (1711–1776), который настаивал, что самые основы науки гораздо более сомнительны, чем можно заподозрить, были убеждены, что евклидова геометрия надежна, как Гибралтарская скала. В «Трактате о человеческом разумении» (« An Enquiry Concerning Human Understanding ») Юм определяет «истины» двух типов (Hume 1748).

Все объекты, доступные человеческому разуму или исследованию, по природе своей могут быть разделены на два вида, а именно: на отношения между идеями и факты. К первому виду относятся… вообще всякое суждение, достоверность которого или интуитивна, или демонстративна. …К такого рода суждениям можно прийти благодаря одной только мыслительной деятельности, независимо от того, что существует где бы то ни было во Вселенной. Пусть в природе никогда бы не существовало ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.

Факты, составляющие второй вид объектов человеческого разума, удостоверяются иным способом, и, как бы велика ни была для нас очевидность их истины, она иного рода, чем предыдущая. Противоположность всякого факта всегда возможна, потому что она никогда не может заключать в себе противоречия… Суждение «Солнце завтра не взойдет» столь же ясно и столь же мало заключает в себе противоречие, как и утверждение, что оно взойдет, поэтому мы напрасно старались бы обосновать его ложность демонстративным путем ( пер. С. Церетели ).

Иначе говоря, хотя Юм, как и все эмпирики, полагал, что любое знание коренится в наблюдении, геометрия и ее «истины» по-прежнему занимали в его представлении привилегированное положение.

Величайший немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) не во всем был согласен с Юмом, однако тоже превозносил евклидову геометрию, приписывая ей и абсолютную точность, и бесспорную достоверность. В своем знаменитом труде «Критика чистого разума» Кант сделал попытку в некотором смысле обратить отношения между сознанием и физическим миром. Кант отошел от представления о том, что физическая реальность накладывает отпечаток на сознание, остающееся, в сущности, пассивным, Кант наделил сознание активной функцией «конструирования» или «переработки» воспринимаемой Вселенной. Он направил внимание вовнутрь и задался вопросом не о том, что мы можем познать, но о том, как именно мы можем познать то, что можем познать [99] По Канту, одна из основных задач философии – объяснить возможность синтетического априорного знания математических понятий. Среди прочих работ на эту тему хотелось бы отметить Höffe 1994 и Kuehn 2001. Хороший обзор представлений о применении математики можно найти в Trudeau 1987. . Он объяснил, что хотя наши глаза регистрируют частички света, эти частички не формируют образ в нашем сознании, пока мозг не переработает и не упорядочит информацию. Ключевая роль в этом процессе переработки приписывалась интуитивному или синтетическому априорному представлению о пространстве, которое, в свою очередь, как полагал Кант, основано на евклидовой геометрии. Кант был убежден, что евклидова геометрия – это единственный путь к переработке и концептуализации пространства, и это интуитивное универсальное знание о пространстве и лежит в основе нашего восприятия мира природы. Вот как об этом пишет сам Кант (Kant 1781).

Пространство не есть эмпирическое понятие, выводимое из внешнего опыта… Пространство есть необходимое априорное представление, лежащее в основе всех внешних созерцаний… На этой априорной необходимости основывается аподиктическая достоверность всех геометрических основоположений и возможность их априорных построений. Если бы это представление о пространстве было a posteriori приобретенным понятием, почерпнутым из общего внешнего опыта, то первые основоположения математического определения были бы только восприятием. Следовательно, на них была бы печать случайности, свойственной восприятию, и суждение, что между двумя точками возможна лишь одна прямая линия, не было бы необходимым; всякий раз этому учил бы нас опыт ( пер. Н. Лосского ).