Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

что и требовалось доказать.

В главе 1 мы выяснили, что сумма кубов равна квадрату суммы, то есть

но тогда мы не были готовы это доказать. Просто мы ничего не знали об индукции. При n ≥ 1 общая закономерность выглядит так:

А так как нам уже известно, что докажем схожую теорему.

Теорема:Для n ≥ 1

Доказательство (методом индукции):При n = 1 предположим, что 1³ = 1²(2²)/4, что истинно. Следовательно, если схожее предположение будет истинным и при n = k , теорема будет доказана:

Прибавим к обеим сторонам ( k + 1)³ и получим

что и требовалось доказать.

А вот геометрическое доказательство тождества суммы кубов.

Посчитаем площадь фигуры двумя разными способами, а потом сравним результаты. С одной стороны, перед нами явно квадрат, каждая из сторон которого равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5, а общая площадь, таким образом, – (1 + 2 + 3 + 4 + 5)².

С другой стороны, если начать с верхнего левого угла, а затем двигаться вниз по диагонали, мы пройдем последовательно через один квадрат размером 1 на 1, два размером 2 на 2 (один из которых разбит на два прямоугольника), три квадрата размером 3 на 3, четыре размером 4 на 4 (и еще один «разрезанный» пополам) и, наконец, пять квадратов размером 5 на 5. Следовательно, их общая площадь будет равна

Так как обе полученные нами площади должны быть равны, имеем

То же можно сделать и с квадратом со сторонами длиной 1 + 2 +… + n , чтобы прийти к

Доказательство методом индукции применяется не только при сложении – оно отлично работает всякий раз, когда некую «большую» проблему (вроде k + 1) можно решить посредством «маленькой» (вроде k ). Приведу вам свою любимую теорему, вроде той, что мы доказывали в начале главы, когда решали проблему с заполнением шахматной доски костяшками домино. Однако на этот раз поговорим не о невозможности, а наоборот, о возможности, причем возможности постоянной, а вместо домино используем тримино [16]L-образной формы.

Так как 64 (число клеток) на 3 не делится, одних лишь тримино для всей площади шахматной доски нам явно не хватит. Но стоит взять дополнительно один квадратик размером 1 на 1, и можно смело утверждать, что вне зависимости от его (квадратика) положения на доске для всего остального хватит тримино. Причем утверждение это справедливо не только для обычных шахматных досок 8 на 8, но и для досок размером 2 на 2, 4 на 4, 16 на 16 и т. д.

Теорема:Для любого значения n ≥ 1 шахматная доска размером 2 n на 2 n может быть выложена костяшками тримино и одним квадратиком размером 1 на 1 при любом положении последнего.

Доказательство (методом индукции):Утверждение является истинным при n = 1, потому что для того, чтобы выложить доску размером 2 на 2, достаточно одной костяшки тримино и одного квадратика (при любом его положении). Попробуем доказать то же в отношении n = k , то есть доски размером 2 k на 2 k (притом что нашей конечной целью остается 2 k +1на 2 k +1). Сначала положим квадратик на любое место. Потом разделим доску на 4 равных сектора, как на рисунке выше.