Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Вспомним, что самоподобие означает симметрию при любом масштабе. Логарифмическая спираль обладает самоподобием, поскольку, как ее ни увеличивай, выглядит всегда одинаково, как и череда вписанных друг в друга правильных пятиугольников и пентаграмм на рис. 10. Каждый раз, когда вы приходите в парикмахерскую, вы видите бесконечную череду собственных самоподобных отражений в двух параллельных зеркалах.

Так вот, золотая последовательность тоже самоподобна при любом масштабе. Возьмем последовательность

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1…

И посмотрим на нее в лупу – конечно, не в буквальном смысле слова. Начнем слева и каждый раз, когда нам встретится 1, будем помечать группу из трех символов, а когда нам встретится 0 – группу из двух символов, только так, чтобы группы не перекрывались. Например, первая цифра у нас 1, поэтому мы отметим группу из первых трех символов – 101 (см. ниже). Вторая цифра в ряду у нас 0, поэтому мы отметим группу из двух символов 10, следующую за первой группой 101. Третья цифра – 1, значит, отмечаем три цифры 101, которые следуют за 10, и т. д. Теперь размеченная последовательность выглядит так:

101 10 101 101 10 101…

А теперь оставим первые две цифры из каждой группы по три и первую – из каждой группы по две (то, что мы оставляем, подчеркнуто):

И взглянем на получившуюся последовательность из оставшихся цифр:

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0…

Как видите, она идентична золотой последовательности.

Можно проделать и другое упражнение по увеличению золотой последовательности путем подчеркивания той или иной закономерной подпоследовательности. Скажем, в качестве подпоследовательности выберем 10 и будем подчеркивать это сочетание цифр в золотой последовательности везде, где оно встретится:

Если теперь мы будем обращаться с каждым сочетанием 10 как с единым символом и обозначим количество мест, на которые надо сдвинуть каждое сочетание 10, чтобы перекрыть его со следующим 10, то получим последовательность 2122121… (первое 10 надо сдвинуть на два места, чтобы оно наложилось на следующее, третье – на одно место и так далее). Если теперь в получившейся последовательности заменить каждую цифру 2 цифрой 1 и каждую 1 – нулем, мы снова получим золотую последовательность. В общем, если взять любую закономерность в пределах золотой последовательности, мы обнаружим, что та же закономерность присутствует в последовательности и при ином масштабе.

Предметы, обладающие таким же свойством, например, русские куклы матрешки, которые вставляются друг в дружку, называются фракталы . Слово «фрактал» (от латинского fractus, что значит «разбитый, фрагментированный») пустил в обращение Бенуа Мандельброт – знаменитый французский и американский математик, родившийся в Польше, и это центральное понятие геометрии природы и теории крайне нерегулярных систем, известных как хаотизированные.

Геометрия фракталов – блестящая попытка описать формы и предметы реального мира. Если оглядеться вокруг, станет понятно, что лишь немногие формы описываются простыми евклидовыми фигурами вроде прямых, окружностей, сфер и кубов. Есть бородатый математический анекдот о физике, который хотел разбогатеть, делая ставки на скачках, а для этого – вывести уравнение движения коня. После долгих трудов он и впрямь составил уравнение движения сферического коня в вакууме. К сожалению, настоящие скакуны отнюдь не сферические, и облака, цветная капуста и человеческие легкие – тоже. Подобным же образом реки, молнии и дренажные системы проходят не по прямой, однако напоминают ветви деревьев и кровеносную систему человека. Рассмотрим, к примеру, фантастически сложные разветвления на картине «Могила великана в снегу» немецкого художника-романтика Каспара Давида Фридриха (1774–1840) (рис. 111, хранится в Галерее новых мастеров в Дрездене).

Колоссальный мыслительный скачок, который проделал Мандельброт, когда сформулировал геометрию фракталов, состоял в основном в том, что ученый обнаружил, что все эти затейливые зигзаги – не помеха математическому описанию морфологии, а главная ее характеристика.