Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

В 2001 году Стейнхардт и его коллеги предложили новую версию зарождения Вселенной; эта модель получила название «экпиротический сценарий», от греческого слова, которое означает «внезапная вспышка пламени». Согласно этой модели, которая на сегодняшний день остается во многом спекулятивной, Большой Взрыв произошел, когда столкнулись две трехмерные Вселенные, двигавшиеся по какому-то другому, скрытому измерению.

Так вот, интересный вопрос: почему эти два выдающихся космолога решили побаловаться занимательной математикой – и перешли к квазикристаллам?

Я знаком с Пенроузом и Стейнхардтом уже много лет, поскольку занимаюсь тем же делом – космологией и теоретической астрофизикой. Более того, в 1984 году Пенроуз получил приглашение выступить на первой крупной конференции по релятивистской астрофизике, которую я организовывал, а Стейнхардт – на последней, в 2001 году. И тем не менее, я не знал, что подтолкнуло их к тому, чтобы углубиться в дебри занимательной математики: казалось бы, эта область довольно далека от их профессиональных интересов в астрофизике. Поэтому я спросил у них об этом.

Роджер Пенроуз ответил:

– Не уверен, что дам на этот вопрос сколько-нибудь глубокий ответ. Как вам известно, математика – занятие, которому большинство математиков предается ради удовольствия. – И, немного поразмыслив, добавил: – Я с детства любил подгонять геометрические фигуры друг к другу, так что исследования мозаик опередили исследования по космологии. Однако в какой-то момент изыскания в области занимательной математики были, по крайней мере, отчасти, связаны с космологическими исследованиями. Я размышлял о крупномасштабной структуре Вселенной и искал игрушечные модели, построенные по простым правилам, которые, тем не менее в крупном масштабе были бы способны породить сложные структуры.

– Но что же заставило вас так долго работать над этой задачей? – спросил я тогда.

– Как вы знаете, меня всегда интересовала геометрия, – со смехом ответил Пенроуз, – так что мне было просто интересно разобраться в этой задаче. Более того, хотя у меня было подозрение, что подобные структуры могут встречаться в природе, я не понимал, как природа могла бы создать их посредством нормального процесса кристаллического роста, локального процесса. В некотором смысле я до сих пор этого не понимаю.

А Пол Стейнхардт на мой вопрос по телефону тут же воскликнул:

– Хороший вопрос!

А затем, подумав несколько минут, рассказал:

– Когда я был студентом-старшекурсником, то не вполне представлял себе, чем хочу заниматься. Затем, уже в аспирантуре, я день и ночь ломал себе голову над физикой частиц, и мне нужно было найти какую-то отдушину – вот и я стал для развлечения исследовать тему порядка и симметрии твердых тел. А стоило мне натолкнуться на проблему квазипериодических кристаллов, как я понял, что это непреодолимое искушение, и с тех пор то и дело возвращался к ней.

Модель квазикристаллов Стейнхардта-Джуна обладает одним интересным свойством: она создает дальний порядок из взаимодействий соседних элементов, однако полностью периодический кристалл при этом не получается. Невероятно, но факт: в общем и целом это же свойство мы обнаруживаем у чисел Фибоначчи. Рассмотрим простой алгоритм, позволяющий создать последовательность, получившую название золотой последовательности. Начнем с числа 1, затем заменим 1 на 10. Теперь будем заменять все 1 на 10, а все 0 на 1. Тогда у нас получатся следующие этапы:

1

10

101

10110

10110101

1011010110110

101101011011010110101

И так далее. Очевидно, что мы начали с «ближнего» правила (простое превращение 0 в 1 и 1 в 10), а получили непериодический «дальний порядок». Обратите внимание, что количество цифр 1 в каждой строчке составляет 1, 1, 2, 3, 5, 8. ., то есть числа Фибоначчи, как и количество цифр 0, начиная со второй строчки. Более того, отношение числа единиц к числу 0 по мере удлинения последовательности становится все ближе к φ. Далее, изучение рис. 27 показывает, что если обозначить новорожденную пару крольчат 0, а взрослую пару 1, то количество пар кроликов будет в точности повторять только что приведенную последовательность. Однако неожиданные свойства золотой последовательности этим не исчерпываются. Если начать с 1 (в первой строчке), за которым следует 10 (вторая строчка) и попросту приписывать к каждой строчке непосредственно предшествующую, тоже получится цельная последовательность. То есть четвертая строчка 10110 получается, если приписать вторую – 10 – к третьей – 101, и т. д.