Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Природа обожает логарифмические спирали. Похоже, это ее любимый узор – она украшает им все подряд, от подсолнухов и ракушек до водоворотов, смерчей и гигантских спиральных галактик. Постоянная форма логарифмической спирали любого размера прекрасно проявляется в природе и в очертаниях раковин микроскопических одноклеточных организмов под названием фораминиферы. Хотя спиральные ракушки в данном случае – структуры сложные, это не просто трубочка, рентгеновские изображения внутренней структуры ископаемых раковин этих существ показывают, что за много миллионов лет их рисунок – логарифмическая спираль – остался прежним. В своем классическом труде «Изгибы жизни» ( Theodore Andrea Cook . The Curves of Life, 1914) английский писатель и издатель Теодор Андреа Кук приводит массу примеров появления спиралей, не только логарифмических, как в природе, так и в искусстве. Он пишет о спиралях в самых разных предметах – это и вьющиеся растения, и человеческий организм, и винтовые лестницы, и татуировки маори. Когда Кук объясняет, что подвигло его на создание книги, то пишет: «…Существованию этих глав о спиральных структурах нет никаких оправданий, кроме увлекательности и красоты самих исследований». Скажем, в этюде к мифологическому сюжету «Леда и лебедь» Леонардо да Винчи косы Леды почти точно повторяют форму логарифмической спирали (рис. 38). Леонардо много раз повторял этот мотив в этюдах спиралей в облаках и в воде – этому посвящен потрясающий цикл рисунков «Потоп». В этом произведении Леонардо сочетал научные исследования над катастрофическими наводнениями с аллегорическими аспектами разрушительных сил, грянувших с небес. Вот как Леонардо описывает бурный поток: «Внезапно нахлынувшие воды обрушиваются в омут, который их вмещает, сметая разнообразные препятствия своими бурными завихрениями… Натиск водоворота, возникающего в месте низвержения воды, швыряет воду прямо на другие водовороты, закрученные в противоположном направлении».

Художник Эдвард Б. Эдвардс, живший в ХХ веке, разработал на основе логарифмической спирали сотни декоративных мотивов – многие из них приведены в его книге «Дизайн и орнаменты с динамической симметрией» ( Edward B. Edwards . Pattern and Design with Dynamic Symmetry), например, узоры, показанные на рис. 39.

Рис. 38

Рис. 39

Логарифмическая спираль и золотое сечение неотделимы друг от друга. Рассмотрим серию сложенных воедино золотых прямоугольников, которые получились у нас, когда мы отрезали квадраты от золотых прямоугольников побольше (рис. 40; об этом мы уже немного говорили в главе 4). Если последовательно соединить точки, в которых эти «вертящиеся квадраты» делят стороны в золотом сечении, у нас получится логарифмическая спираль, сворачивающаяся внутрь, к полюсу (то есть в точку на пересечении диагоналей на рис. 25, которой дали пышное название «Око Господне».

Логарифмическую спираль можно получить и из золотого треугольника. В главе 4 мы видели, что если начать с золотого треугольника (напомню, что это равнобедренный треугольник, в котором сторона относится к основанию в золотом сечении) и разделим биссектрисой угол при основании, у нас получится золотой треугольник поменьше. Если и дальше делить биссектрисами углы при основании треугольника – до бесконечности – получится водоворот из треугольников. Если соединить их вершины, получится логарифмическая спираль (рис. 41).

Рис. 40

Рис. 41

Еще логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью. Этот термин ввел в 1638 году французский математик и философ Рене Декарт (1596–1650), по имени которого названы числа, определяющие положение точки на плоскости относительно двух осей – декартова система координат.

Слово «равноугольная» отражает другое уникальное качество логарифмической спирали. Если прочертить прямую линию из полюса к любой точке спирали, она пересечет кривую под одним и тем же углом (рис. 42). Этим качеством пользуются соколы, когда бросаются на добычу. Соколы-сапсаны – одни из самых быстрых птиц на земле, когда они пикируют к цели, то разгоняются до двухсот километров в час. Однако они могли бы летать даже быстрее, если бы приближались к добыче по прямой, а не по спиральной траектории. Биолог Ванс Э. Такер из Университета Дюка в Северной Каролине многие годы интересовался, почему же сапсаны не выбирают кратчайший путь к добыче. Затем он понял, что поскольку глаза у соколов расположены по сторонам головы, то чтобы воспользоваться преимуществом, которое дает этим птицам острейшее зрение, им приходится поворачивать голову на 40 градусов в ту или иную сторону. В ходе экспериментов в аэродинамической трубе Такер выяснил, что такой поворот головы заметно тормозит движение сокола. Результаты этих исследований были опубликованы в ноябрьском выпуске « Journal of Experimental Biology » за 2000 год и показывают, что соколы держат голову прямо и летят по логарифмической спирали. А поскольку спираль обладает свойством равноугольности, такая траектория позволяет птице, разгоняясь до предельных скоростей, не упускать добычу из виду.