Карлос Касадо: Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика.

Существует два вида дифференциальных уравнений: линейные и нелинейные. Для уравнений первого вида сумма двух решений также оказывается решением. Кроме того, в линейном дифференциальном уравнении ни неизвестная функция, ни ее производная не могут быть возведены в степень 0 или 1. Линейные дифференциальные уравнения описывают феномены, в которых результат суммы причин — это сумма последствий каждой из них, взятой отдельно. Зато в нелинейных уравнениях не существует пропорциональной связи между причинами и следствиями, и пересечение двух разных причин может дать неожиданный результат. Как мы увидим дальше, эта нелинейность сопутствовала самым сложным задачам механики, за которые брался Лаплас.

Людовик XIV во время визита в Академию наук в 1671 году, через пять лет после ее создания.

Гравюра, изображающая Лапласа, из альбома «Великие люди и великие факты Французской революции» (1789-1804), выпущенного к столетию революции в 1889 году.

План Королевской военной школы в Париже, составленный Жаком Анжем Габриэлем в 1751 году.

Ученый франко-итальянского происхождения Жозеф Луи де Лагранж (1736-1813) родился в Турине. Его интерес к математике разгорелся в самом раннем возрасте благодаря очерку астронома Эдмунда Галлея, описывавшего положительные стороны нотации Ньютона. Благодаря работам Лагранжа Эйлеру удалось решить большое количество задач, с которыми он долгое время не мог справиться. Однако с великодушием, достойным восхищения, Эйлер отказывался публиковать решение до того момента, пока этого не делал Лагранж, — «чтобы не присвоить себе никакой доли славы, которая к нему пришла». В 1766 году, когда Эйлер покинул Берлин, чтобы ехать в Санкт-Петербург, Лагранж занял его место (говорят, Фридрих II воскликнул, что наконец-то ему удалось найти замену одноглазому математику). Именно в Берлине он пишет свое лучшее произведение — «Аналитическую механику» (1788). Эта работа изложена так элегантно, что может быть квалифицирована как научная поэма.

Лагранж ненавидел геометрию, и отсутствие графиков в его труде было для него источником гордости: «В этом сочинении нет чертежей... Любители анализа с удовольствием увидят, что механика становится новой его отраслью». Однако — вот ирония судьбы! — самой большой почестью в его жизни станет звание геометра Империи, присвоенное Наполеоном. Среди достижений Лагранжа называют новое обобщение уравнений движения, а также новаторские методы решения дифференциальных уравнений (метод вариации постоянной). После смерти Фридриха II он получил от Людовика XVI предложение обосноваться в Париже. Там он встретил Лапласа и оказался втянутым в революционные потрясения. По натуре склонный к депрессиям, Лагранж в избытке употреблял чай и кофе и все силы отдавал математике, пока не подорвал свое здоровье.

Теория линейных дифференциальных уравнений тут же была дополнена: Эйлер и Лагранж объяснили, как решать системы линейных уравнений, в то время как их предшественники решали уравнения последовательно, одно за другим, однако буксовали каждый раз, когда вставал вопрос о нелинейных уравнениях. Нелинейные задачи — такие как уравнение маятника — необходимо было решать методом линеаризации, устраняя при этом все показатели, усложняющие уравнение. Иначе говоря, для данного нелинейного дифференциального уравнения было возможно решить аналогичное линейное уравнение и найти решения первого уравнения методом последовательных приближений к решениям второго. Этот подход называют теорией возмущений. Однако этот способ очень быстро показал свои ограничения и неэффективность в большинстве случаев. Просвещенные математики тех лет искали конкретные методы решения специфических уравнений.

Именно в этом направлении Лаплас и достиг некоторых успехов, предложив математические способы, которые с течением времени были улучшены. Ученый максимально использовал математические методы, которые изучил или придумал, в частности имевшие отношение к интегрированию, то есть к решению — точному или приближенному — дифференциальных уравнений, встреченных им в механике и астрономии. Начиная с публикации своей первой статьи Лаплас заинтересовался этими способами интегрирования, которые считал важным открытием.