Карлос Касадо - Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика.

Гаусс первым рассчитал орбиту планеты Церера, открытой в начале XIX века, 1 января 1801 года. Немецкий ученый проанализировал серию наблюдений Цереры, предположил, как проходит ее орбита, и предсказал, где эта малая планета появится снова. Ученый использовал собственный метод — метод наименьших квадратов, который тщательно описал в своем дневнике. Он позволяет построить траекторию на основании совокупности точек и минимизировать при этом сумму квадратов погрешностей, то есть различие между наблюдаемыми и реальными значениями.

В 1809 году Гаусс триумфально вошел в мир астрономии со своим трудом «Теория движения небесных тел». В нем он устанавливал связь между методом наименьших квадратов и теорией погрешностей, доказывая, что распределение погрешностей может быть проанализировано с помощью этого метода. В действительности однажды, определяя кривую, которая позволяла минимизировать среднюю квадратичную погрешность, Гаусс заметил, что погрешности приближенного значения распределяются случайным образом вокруг среднего значения. Это симметричное распределение в виде купола было не чем иным, как кривой Гаусса (рисунок 3, ниже). Она может быть выражена в виде функции:

φ(x) = 1/(√2π) · e-x/2.

Как мы можем заметить, график функции, использованной Лапласом, достаточно близок к кривой Гаусса. Это нормальное распределение, описанное кривой в форме купола, было рассмотрено в качестве универсального распределения погрешностей, что-то вроде естественного закона. Однако выражением «нормальный закон» мы обязаны Адольфу Кетле (1796-1874), который ввел концепцию «среднего человека», и Фрэнсису Гальтону (1822-1911), кузену Чарльза Дарвина. Оба ученых неоднократно применяли этот закон к своим социальным исследованиям и сделали вывод, что большинство природных характеристик распределяется «нормальным образом» и большинство людей имеют средний рост.

Труды Гаусса вдохновили Лапласа к написанию «Аналитической теории вероятностей». Он изложил некоторые открытия немецкого математика в области вероятностей, среди прочего метод наименьших квадратов- и нормальное распределение, что позволило ему разработать центральную предельную теорему: если данное значение является результатом суммы большого количества переменных, описанных с определенной погрешностью, оно тяготеет к нормальному распределению независимо от распределения каждого отдельного слагаемого. Иными словами, эта теорема подтверждает, что при некоторых достаточно общих условиях можно моделировать исследуемую характеристику, как если она распределена нормальным образом. Мы не можем предсказать индивидуальное поведение одной переменной или одного индивидуума, но можем предвидеть среднее поведение населения. Этот результат статистической регулярности, проявление закона больших чисел, был для Лапласа еще одним математическим доказательством стабильности Вселенной.

РИС.З

Наконец, «Аналитическая теория вероятностей» представляет длинный список способов ее применения в астрономии и геодезии (с использованием теории погрешностей), в статистике и демографии (ожидаемая продолжительность жизни) и даже в юриспруденции (электоральная математика). В труде упоминается достаточно любопытный результат: согласно расчетам Лапласа искоренение ветряной оспы во Франции позволило бы увеличить вероятную продолжительность жизни на три года.

Объединение расчета вероятностей Лапласа, статистики и анализа позволило разработать современную теорию вероятностей, которая сыграла особую роль в последующие столетия. Однако сама по себе «Аналитическая теория вероятностей» осталась неоцененной, и большое количество открытий Лапласа были заново доказаны в середине XIX века. Теория вероятностей, рассматриваемая под углом анализа, согласно концепции Лапласа, просуществовала до 1933 года, когда советский математик Андрей Колмогоров (1903-1987) подтвердил метод, включив его в теорию измерения. Он предложил ряд аксиом, которые повторяли фундаментальные предчувствия, сформулированные в классическом определении теории вероятностей, в частности правило Лапласа, применяемое к равновероятным случаям, формулу Бернулли для повторяющихся явлений. Субъективная интерпретация вероятностей (степень уверенности в суждении или проверяемости событий, различных для каждого индивидуума) была сформулирована в 1937 году итальянским статистиком Бруно де Финетти (1906-1985) и распространена Леонардом Джимми Сэвиджем (1917-1971) в 1954 году. Последний вновь обнародовал теорию Байеса, в которую Лаплас сделал большой вклад.