Карлос Касадо - Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика.

Таким образом, Лагранж нашел общее приблизительное решение задачи трех тел. Особого интереса заслуживают два случая: система трех тел, образованная Солнцем, Юпитером и Сатурном, и система, состоящая из Солнца, Земли и Луны. Речь шла о том, чтобы объяснить нерегулярное движение нашего спутника, а также движение больших планет Солнечной системы. Если учитывать только силу тяготения Солнца (так как масса этой звезды наиболее значительна в системе), можно утверждать, что орбита каждой планеты представляет собой эллипс. Однако, если добавить силу тяготения других планет, эллиптическая траектория нарушается. Являются ли эти возмущения кумулятивными или они компенсируют друг друга с течением времени?

Требовалось узнать, являются неравенства эллиптического движения планет (используем терминологию Лагранжа и Лапласа) периодическими или вековыми. В первом случае отклонения орбит были бы компенсированы в течение длительного периода времени таким образом, что орбита осталась бы стабильной. Периодические неравенства вызывают искажение орбиты планеты сначала в одном направлении, затем в обратном, таким образом возмущения компенсируются.

Но если мы имеем дело с вековыми неравенствами, то возмущения накапливаются в течение неопределенного времени, пока, наконец, планета не покинет свою эллиптическую орбиту Эта ситуация завершается дестабилизацией Солнечной системы.

Неравенства векового типа вызывают искажения планетных орбит в одном направлении, что влечет нарушение равновесия.

Поскольку эти неравенства наблюдались в течение многих веков, они были названы вековыми. Лаплас был убежден, что основные возмущения планетных орбит (касающиеся их формы и положения, то есть эксцентриситета эллипса и места планеты на орбите) не вековые, а периодические, и они колеблются вокруг некоторых средних значений, не выходя за определенные пределы. Как мы вскоре увидим, Лаплас решит проблему аномалий, наблюдаемых в движении Сатурна, Юпитера и Луны.

В окрестностях точки Лагранжа L 4находится Ахиллес, образующий с Солнцем и Юпитером равносторонний треугольник (его углы равны 60°). В окрестностях других точек Лагранжа (L 1и L 2) находятся другие троянские астероиды, расположенные на прямой линии,что соответствует решению Эйлера.

Вначале давайте рассмотрим аномалии движения Юпитера и Сатурна. Галлей в XVII веке констатировал, что Сатурн двигается с явным замедлением и удаляясь от Солнца, а Юпитер — ускоряя свой бег и приближаясь к светилу. Если бы эта тенденция сохранилась, Юпитер в конце концов столкнулся бы с Солнцем, а Сатурн — покинул пределы Солнечной системы.

Подставляя (в уравнение) цифровые показатели для Юпитера и Сатурна, я был удивлен тем, что оно становилось равно нулю.

Лаплас об уравнении, доказывающем постоянство усредненных орбит планет

Между 1785 и 1786 годами Лаплас решил эту загадку, описав ее в своих гениальных трудах под названием «О вековых неравенствах планет и спутников» и «Теория Юпитера и Сатурна». Как и Лагранж, Лаплас понимал, что найти точные аналитические решения задачи трех тел невозможно, поэтому следует прибегнуть к приблизительным решениям. И он сумел предоставить аналитическое выражение для векового неравенства планет. Ему удалось вывести уравнение и обнаружить приятный сюрприз: вековые ускорения планет пропали. Ученый смог разобраться с одним из самых важных феноменов мировой системы и доказать, что неравенства, наблюдаемые в движении Юпитера и Сатурна, являются не вековыми, а периодическими.

Аномалии движения Юпитера и Сатурна объясняются ньютоновым законом всемирного тяготения, и, в принципе, можно рассчитать предшествующие и последующие состояния системы. Ускорение первой планеты и замедление второй — следствие их взаимного влияния. Эти возмущения периодические и поэтому — компенсируемые. Каждые 450 лет они меняют знак ускорения: Юпитер начинает замедлять движение, а Сатурн, наоборот, ускоряется. Таким образом, планеты возвращаются в исходное положение каждые 900 лет. По какой причине это происходит? Лаплас констатировал, что на каждые пять оборотов Юпитера по его орбите приходится около двух оборотов Сатурна и для того, чтобы обе планеты вновь оказались в исходном положении, требуется 900 лет[ 1Период обращения Юпитера — 12 лет, период обращения Сатурна — почти 30. За 900 лет Юпитер сделает 75 оборотов, а Сатурн — 30.]. В результате накопленные возмущения компенсируются. Наконец-то нашелся человек, который сумел объяснить ускорение Юпитера и торможение Сатурна, так тревожившие астрономов со времен Ньютона! И эта тревога понятна, ведь ни один ученый не может наблюдать регулярность в течение такого долгого промежутка времени!