Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

В итоге формализм оказался самым сильным течением, хотя его стремление к надежной математике, расцениваемой как наука о формальных системах, разбилось о теоремы Гёделя. И ошибка представителей этого течения, как и других, заключается в предположении, что науки базируются на своих собственных основаниях.

Во время кризиса оснований не было речи об опасности обрушения многовекового здания математики. Довольно распространенный миф заключается в том, что логико-формальные решения поддержали руины, потому что математика продолжала развиваться и никто не заметил трещин. Но все-таки она переживала золотой век с его блестящими достижениями (теория меры, функциональный анализ, топология...). А неудачно названный кризис оснований, который намечался только в области логики и теории множеств, был скорее кризисом методов, который обновил подход к математике.

Гильберт был чемпионом по аксиоматике, сторонником аксиоматического метода не только в математике, но и в науке в целом. Под его покровительством этот метод распространился от корней до кроны математического дерева. Но, оставив в стороне брешь, обнаруженную Гёделем, следует сказать, что аксиоматизм Гильберта не сочетается с рутиной математика — с тем, с чем он сталкивается постоянно.

Если мы посмотрим на математика за работой, поскольку статьи — всего лишь продукты его деятельности, то удивимся, сколько неформальных рассуждений он выдает. Что доказывают ограничительные теоремы Гёделя или Тарского для математика в действии? Что математика — слишком крупный кролик для того, чтобы вытащить его из столь маленького цилиндра аксиоматической системы, каким бы ловким ни был этот фокусник Гильберт. Более того, аксиоматика возможна, только если ей предшествовала фаза работы с моделью, то есть аксиомы чисел могут быть сформулированы, если уже есть некоторое представление о том объекте, с которым мы имеем дело. Генетический метод предшествует аксиоматическому, и замена первого вторым предполагает похищение честно заработанного (аксиоматика немедленно присваивает себе все построенное).

Могила Гильберта в Гёттингене. У основания памятника высечена знаменитая фраза «Мы должны знать. Мы будем знать».

Альфред Тарский и Курт Гёдель в Вене в 1935 году. Своими ограничительными теоремами оба поспособствовали разрушению возведенной Г ильбертом конструкции математики.

Давид Гильберт, 1930-е годы.

После Второй мировой войны ультраформалистская концепция математики сформировалась в виде бурбакизма. Группа молодых французских математиков (Андре Вейль, Анри Картан, Жан Дьёдонне и другие) собралась в 1935 году и решила назвать себя именем потерпевшего поражение французского генерала Бурбаки, поскольку еще в университете один шутник-студент, учившийся на курс старше, подбросил им неверные теоремы, носящие имена известных генералов. Коллектив Бурбаки подписывался под многочисленными докладами и монографиями и считал себя настоящим интеллектуальным наследником Гильберта. Под лозунгом «Долой Евклида!» Бурбаки представлял математику в абстрактном и чистом виде, который выкристаллизовался в виде высокоаксиоматичной работы «Элементы математики». Эта традиция представлять математику как подарок небес, лишенный любой земной неточности, в течение 1970-1980-х годов оказывала влияние на преподавание абстрактной теории множеств в средних школах Европы.

Собрание Бурбаки, 1938 год. Слева направо: С. Вейль, Ш. Пизо, А. Вейль, Ж. Дьёдонне, К. Шаботи, Ш. Эресманн и Ж. Дельсарт.

Даже логические аксиомы и аксиомы теории множеств были получены как результат анализа неформальных доказательств. Кроме того, когда обычный математик рассуждает о континууме действительных чисел, он никогда не думает о нестандартных (счетных) моделях континуума (они существуют, если работать аксиоматически в рамках ZFC, и для заядлого формалиста они столь же справедливы, как и стандартная модель). С точки зрения специалиста в области анализа или топологии, для которого континуум — это операционная реальность, существование счетных моделей означает просто бедность формального языка как средства подражания неформальным рассуждениям. Несмотря на яркость метафоры, введенной Гильбертом, математика — это не здание или храм, она больше похожа на город с его проспектами, кварталами, новостройками и опустевшими домами, огороженными под снос.