Джеймс Гордон - Конструкции, или почему не ломаются вещи

Эйлер имел немецко-швейцарское происхождение, в его семье были известные математики. Он рано приобрел имя в той же области, и еще очень молодым был приглашен Екатериной II в Россию. Большую часть жизни он провел при дворе в Петербурге, лишь по временам, в моменты острой политической ситуации, находя пристанище у Фридриха II в Потсдаме. Жизнь при дворах просвещенных деспотов в середине XVIII в. была, должно быть, интересна и колоритна, однако в многотомных сочинениях Эйлера мы не найдем каких-либо упоминаний об этом. Насколько я мог выяснить, ни одному из его биографов не удалось установить хотя бы одного случая или происшествия в его жизни, которые могли бы удовлетворить обычное человеческое любопытство [103] Кроме, разве, слепоты, прогрессировавшей в последние годы его жизни. . Он просто в течение очень многих лет постоянно занимался математикой, описывая свои результаты в огромном количестве научных статей, которые и после его смерти все еще публиковались в течение сорока лет.

Конечно, Эйлер совсем не собирался заниматься несущей способностью сжатого стержня как конструкционного элемента. Просто среди многих других своих математических открытий он изобрел то, что теперь называется вариационным исчислением, и он искал задачи, к которым можно было бы применить этот новый математический метод. Один из его друзей предложил попробовать этот метод для определения наименьшей высоты тонкого вертикального стержня, при которой этот стержень начнет выпучиваться под собственным весом. Такая формулировка этой не очень реальной задачи объясняется тем, что, как мы уже упоминали в гл. 2 понятия напряжения и деформации возникли лишь в значительно более поздние времена. Для ее решения нужно было применить вариационный метод. Если переложить полученный Эйлером результат на современный язык, то получится то, что сейчас называется формулой Эйлера для критической нагрузки потери устойчивости продольно сжатого стержня, а именно: P = π 2( EI / L 2 ), где P - нагрузка, при которой выпучиваются стержень или панель; E - модуль Юнга материала; I - момент инерции поперечного сечения стержня или панели (гл. 10); L - длина стержня. Естественно, все эти величины должны быть выражены в одной и той же системе единиц. (Удивительно, что так много важных расчетных формул имеют столь простой вид [104] Современные подходы к выводу формулы Эйлера можно найти в учебниках. См., например, Cottrell A. The Mechanical Properties of Matter (а также Работнов Ю. Н. Сопротивление материалов М.: Физматгиз, 1962: Алеутов Н.А. Основы расчета на жесткость упругих систем - М., Машиностроение, 1978.) .)

Формула Эйлера применима к длинным и тонким колоннам и стержням всех видов - как сплошным так и пустотелым, а что, быть может, и более важно - к тонким панелям и пластинам, которые встречаются в конструкциях самолетов, кораблей и автомобилей. Если мы построим график зависимости критической нагрузки стержня или панели от длины, то получится нечто похожее на рис. 142, на котором показаны два возможных механизма разрушения.

Короткие стержни разрушаются описанным выше путем с образованием бочки или дроблением на мелкие куски. Когда отношение длины к толщине стержня достигает величины 5-10, эта линия пересекает кривую, соответствующую эйлеровой форме потери устойчивости. Теперь более опасным становится выпучивание, и длинный стержень выходит из строя вследствие выпучивания. В действительности переход от разрушения материала к потере устойчивости происходит не так резко, существует некая переходная область, отмеченная на рис. 142 пунктиром.

Рис. 142. Зависимость предельного сжимающего напряжения от длины стержня.

Приведенная выше формула Эйлера относится к тому случаю, когда стержень или панель имеют шарнирное закрепление и могут свободно поворачиваться (рис. 143). Обычно все, что препятствует концам стержня или панели поворачиваться приводит к увеличению критической нагрузки потери устойчивости. В крайнем случае, когда оба конца стержня жестко заделаны, его критическая нагрузка увеличивается в 4 раза. Очень часто, однако, для жесткой заделки необходимо существенное стеснение концов, а это приводит к увеличению веса, сложности и стоимости всей конструкции, поэтому она становится невыгодной.