Роб Истуэй - Математика для мам и пап - Домашка без мучений

Если даже сложение в столбик способно запутать ребенка, то вычитание столбиком (метод, которому обучались в школе старшие поколения) может оказаться настоящим минным полем.

Вот один из методов вычитания, который вы, возможно, осваивали в школе. Требуется решить пример 784 – 356:

Вы начинаете с правого столбца и говорите: «Шесть из четырех не вычитается, поэтому занимаем единицу из предыдущего разряда, шесть вычесть из 14 равно восьми; возвращаем один; пять плюс один будет шесть; восемь минус шесть будет два…» и т. д. (На самом деле, в зависимости от вашего возраста и школы, в которой вы учились, в алгоритме могут быть небольшие различия и маленькая «1», которую вы возвращаете или занимаете, может писаться в разных местах – как поется в песне Тома Лерера «Новая математика», написанной в 1960 г.)

Других мам и пап, возможно, учили «поправлять» верхнее число:

Вы опять-таки начинаете справа и говорите: «Шесть из четырех не вычитается, занимаем десяток из восьми [поскольку на самом деле это 80] и добавляем к четырем, получаем 14. Шесть вычесть из 14 – это 8, а 5 вычесть 7 равно 2…» То есть учили «брать» 10 из 8, но на самом деле здесь ничего ниоткуда не занимается, просто 784 разбивается на 770 + 14.

Маленькие дети, которые только начинают осваивать математические записи, не видят необходимости ставить символы в строго определенном порядке. Для них 3 + 4, 4 + 3 или даже 3 4 + или + 3 4 означает ровно одно и то же: сложить 3 и 4. Аналогично они не видят разницы между вариантами 7 – 3 и 3 – 7: то и другое означает попросту вычесть 3 из 7 (ведь если мы говорим «вычесть 3 из 7», то разумно записать сначала 3, а уж потом 7). Затем появляется взрослый, который очень хочет помочь (назовем этого человека мисс Строгость), и говорит: «Невозможно вычесть большее число из меньшего, поэтому не пиши 3 – 7, пиши 7 – 3». В принципе она не права, вычесть большее число из меньшего можно – мы не сомневаемся, что такое иногда случается с вашим банковским счетом. Математики придумали отрицательные числа именно для того, чтобы можно было получить ответ для выражения вроде 3–7. Просто ребенок пока не умеет этого делать.

Через какое-то время еще один доброжелательный взрослый (назовем его мистер Безупречность) показывает ребенку, как выполнять вычитание столбиком:

«Начинай с единиц, – наставляет малыша мистер Безупречность. – Из восьми вычесть пять будет три, из шести вычесть четыре будет два, из четырех вычесть два получится два». (На самом деле мы при этом вычитаем 40 из 60 и 200 из 400, но это уже другая история.)

Еще позже ребенок сталкивается, скажем, с таким примером:

– и голоса Строгости и Безупречности начинают спорить у него в голове:

Безупречность: «Начинай с единиц».

Ребенок: «Из двух вычесть девять».

Строгость: «Невозможно вычесть большее число из меньшего».

Ребенок: «Если мне нельзя из двух вычесть девять, то можно от девяти отнять два, это будет семь».

Таким образом, следуя полученным советам, ребенок начинает писать такие вещи, как:

Маленького ребенка правила могут только запутать, вот почему в настоящее время их придерживают до тех пор, пока ребенок не научится по-настоящему понимать, что делает. Тесты показывают, что ученики, с одной стороны, ошибаются, производя вычисления «старым» методом, а с другой – находят совершенно правильные решения, если пользуются собственными приемами.

Взгляните на эти примеры на вычитание, решенные детьми. Хотя выполнены они неверно, в обоих случаях есть разумные причины, по которым дети ошиблись. Сможете определить, как могли в этих ситуациях рассуждать дети?

А.Ребенок, вероятно, сказал себе: «Из трех отнять семь не получится, значит, нужно из семи отнять три, будет четыре» и т. д.

Б.Здесь разобраться сложнее. Ребенок понял, что, чтобы вычесть семь из одного в правом столбце, нужно «занять» десять, но поскольку в колонке десятков числа 201 стоит нуль, он перешел левее и занял из двух в колонке сотен. (Еще одно объяснение: ребенок решал много задач на вычитание двузначных чисел и считал – неверно, но здраво, – что «занимать» нужно всегда из крайней левой цифры.)