Роб Истуэй - Математика для мам и пап - Домашка без мучений

Запись чисел с использованием их разрядных значений приобрела особую роль с изобретением печатного станка. Когда бумага стала дешевой, люди смогли отложить в сторону свои «старые» счетные методы – абаки – и перейти к новой, более универсальной технологии – бумаге и перу. Некоторые историки считают, что в то время об «отупляющем» влиянии письменного счета (по сравнению со счетом на абаке) спорили не меньше, чем сегодня говорят об отупляющем влиянии калькуляторов, пришедших на смену вычислениям на бумаге. Возможно, вопрос «Что ты будешь делать, если у тебя сломается перо?» тогда служил эквивалентом сегодняшнего «Что ты будешь делать, если у тебя в калькуляторе сядет батарейка?». Мало того, и сегодня в мире найдутся такие места, где самым популярным счетным инструментом до сих пор служит абак. В Японии тоже используется своеобразная форма абака – соробан, – и опытные пользователи считают на нем быстрее и точнее, чем с помощью ручки и бумаги.

Чтобы узнать побольше о позиционной системе, которую мы принимаем как нечто само собой разумеющееся, давайте посмотрим, как могло бы обернуться дело, если бы у человека было не десять, а восемь пальцев на руках.

Система счисления, которой мы пользуемся, основана на подсчете пальцев на руках. После того как все пальцы оказываются посчитаны, нам нужно начать заново, поэтому для того, чтобы зафиксировать наличие у нас двенадцати предметов, мы говорим, что у нас есть один полный набор пальцев плюс еще два – и записываем это как 12. Это серьезный шаг для мальчика или девочки – соотнести единицу в числе 12 с «одним набором из десяти штук». Чтобы помочь вам встать на место ребенка и оценить сложность стоящей перед ним задачи, вам полезно поработать с незнакомой системой счисления. Представим, какой могла бы быть математика, окажись у нас на руках не десять пальцев, а всего восемь (как обычно рисуют у мультяшных героев, таких как Барт Симпсон или Микки-Маус). Тогда счет выглядел бы так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12…

Этот вариант счета известен как система счисления с основаниемвосемь, или восьмеричная система. Обратите внимание: на самом деле в ней никогда не используется цифра 8. В этой системе 10 означает не десять, а восемь – одну группу из восьми единиц. Так что в мире восьмипалых 12 – это группа из восьми единиц плюс две единицы, что означает десять в нашей обычной системе отсчета.

Можете ли вы определить, какому числу в нашей десятичной системе эквивалентно 124 в системе с основанием 8?

Идею системы счисления с каким-то конкретным основанием можно связать с любым числом пальцем. Представьте себе, к примеру, инопланетянина всего с двумя пальцами. Он никогда не стал бы использовать число 2. Вместо этого счет у него начинался бы так: 1, 10, 11… а дальше? В двухпальцевой математике нет цифры 2, так что после 11 идет 100. Затем 101, 110, 111, 1000 (соответственно, 1000 означает число 8: одна восьмерка, нет четверок, нет двоек, нет единиц). Счет на двух пальцах известен как система счисления с основанием два или, как ее чаще называют, двоичная система счисления.

Многие британские родители – и наверняка бабушки и дедушки – изучали в школе числа в разных системах счисления. Тому была серьезная причина, поскольку в обычной жизни им каждый день приходилось сталкиваться со счетом в системах, отличных от десятичной. К примеру, в шиллинге было 12 пенсов, в футе – 12 дюймов, в фунте – 16 унций, в галлоне – 8 пинт.

Теперь, когда большая часть мира пользуется метрической системой, необходимость изучения других систем счисления стала куда менее очевидной, но представление о том, как они работают, помогает лучше понять десятичную систему, которой мы пользуемся и склонны воспринимать как нечто само собой разумеющееся. А тому, кто хотел бы разобраться в основах работы компьютеров, без понимания двоичной системы не обойтись (позже мы поговорим об этом более подробно).

В эту игру, чрезвычайно популярную на детских площадках по всей Британии, могут играть дети уже в пять лет, но на самом деле она способна развлечь не только малышей, но и подростков и даже взрослых. Существует множество вариантов, а базовый называется «Двадцать». Два игрока по очереди считают до 20, называя в свою очередь одно, два или три числа (каждый из них сам решает, сколько чисел называть за этот ход). Игрок, которому приходится завершать счет и назвать последнее число – 20 – проигрывает. Поэтому игра может идти примерно так: