Роб Истуэй - Математика для мам и пап - Домашка без мучений

В этой главе мы расскажем немного о том, как человечество обзавелось нынешней системой счисления и как ее сегодня преподают в школах. Мы также познакомим вас с кое-какими играми и другими приемами, которые помогут вам закрепить знания ваших детей об этой системе и могут оказаться такими же интересными и полезными для десятилетних детей, как и для дошколят.

1. Дети думают, что 6000 – это на один больше, чем 5099.

2. Записывают «сто тридцать шесть» как 10 036.

3. Не сознают, что в числе 243 содержится 24 группы по 10, а не просто четыре десятка.

4. Думают, что 3,453 меньше 3,35, потому что в первом числе присутствуют тысячные.

5. Думают, что 0,75 меньше 0,203, потому что 75 меньше 203.

Наша система счисления работает следующим образом: объекты в ней группируются в десятки, десятки десятков слагаются в сотни, десятки сотен образуют тысячи и т. д. Выбор именно десятки в качестве основы для счета объясняется, конечно, тем, что у каждого из нас на руках по десять пальцев – и на ногах тоже, для ровного счета.

Эта система десяток («десятичная») настолько нам знакома, что кажется почти естественной – ну, просто числа так устроены. На самом же деле этой системе в том виде, в каком мы ее знаем, – то есть с сотнями, десятками, единицами и всем остальным, – а также ее каждодневному применению для расчета денег и различных измерений, всего несколько сотен лет. Мы знаем, что детям требуется не один год, чтобы научиться «расшифровывать» написанные значки и бегло читать; точно так же и на освоение придуманной нами системы называния, чтения и записи чисел нужно время.

Идея группировать числа по десяткам получила признание много веков назад, о чем явно свидетельствует изобретение абака. Первые абаки делались из глины и имели желобки, в каждом из которых помещалось девять небольших камешков. Как только счет доходил до десяти, вместо десяти камешков клали один – причем уже в следующий желобок. Когда и этот желобок заполнялся девятью камешками, с появлением десятого все десять опять заменялись на один, который вновь оказывался в следующем желобке. Записывать не было нужды – камешки в желобках помогали следить за счетом. Для обозначения более крупных групп использовались особые символы, к примеру, X для десятки и C для сотни в римской системе.

Ранние системы счисления не имели знака для обозначения нуля. В конце концов, если в желобке абака нет ни одного камешка, то как обозначить пустоту? У римлян 305 записывалось просто как CCCV, а тот факт, что в числе нет десяток, с очевидностью вытекал из отсутствия в записи знаков X.

Римская система записи чисел основывалась исключительно на использовании семи букв. Обратите внимание, что ими обозначались не только 1, 10, 100 и 1000 (числа, которые мы используем в качестве позиций в нашей десятичной системе), но и 5, 50 и 500. Для чисел от 4000 и выше над числом проводили горизонтальную линию, означавшую «тысячи», так что, к примеру, X обозначает 10 000. В римском числе I, Х и C не всегда означают 1, 10 и 100. Если поместить их слева от (соответственно) X, C и M, они означают отнять 1, отнять 10 и отнять 100. Поэтому IX, к примеру, означает 10 – 1 = 9, а CD означает 500 – 100 = 400. Чаще всего сегодня римские числа используются при традиционной записи дат (поэтому когда на телеэкране после программы пробегают титры, нам, чтобы понять их, приходится кое-что быстро расшифровывать).

На каком из лондонских памятников вы найдете римское число MDCLXVI (в нем есть все возможные буквы, в порядке убывания чисел) и к какому событию оно отсылает?

Ситуация начала меняться с введением нашей современной (арабской) системы счисления. Один и тот же символ – к примеру, 3 – использовался для обозначения трех единиц, или трех десятков, или трех сотен, или трех миллионов и т. д. Теперь важны были не только сами символы, но и место, которое они занимали в числе. Если в сотенном желобке абака лежали три камешка, в единичном – пять, а бороздка, отвечающая за десятки, оставалась пустой, то писцы начали записывать 3 5. Но как быть с промежутком между 3 и 5? Как дать понять, что он оставлен намеренно, а не возник в результате неаккуратности писца? Или, к примеру, что пропущены только десятки, а не десятки и сотни одновременно и что 3 означает 300, а не 3000? Эту проблему удалось решить изобретением нуля (0), который стал использоваться для обозначения пустого места. Появление нуля между 3 и 5 – 305 – удерживало 3 и 5 на их законных местах единиц и сотен. Значение 3 в данном случае становится однозначно: три сотни, 300. Отсюда и одно из названий нашей системы счисления – позиционная система.