Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Теперь можно дать строгое определение: Вселенная однородна, если через каждуюмировую точку (событие) проходит пространственное сечение однородности. В каждой точке на таком сечении плотность ρ , давление p и кривизна пространства должны быть одинаковы.

Теперь определим изотропию Вселенной. Рост масштабного фактора означает и расширение материи, заполняющей Вселенную. На каждую частицу расширяющегося вещества можно мысленно «посадить» сопутствующего наблюдателя. Вселенная изотропна если, каждыйсопутствующий наблюдатель не может отличить одно направление от другого.

Если Вселенная изотропна, то она автоматически однородна. Действительно, если это не так, то будут какие-то ее части с разной плотностью, давлением и т. п. Но тогда, найдутся выделенные направления к областям с разными характеристиками, а это нарушение изотропии. А вот однородная Вселенная может быть анизотропной. Но для всех сопутствующих наблюдателей эта анизотропия будет одинаковой. Таких моделей Вселенной существуют целые семейства, они до сих пор активно исследуются. Поскольку изотропия Вселенной подтверждена с определенной точностью, то модели с меньшей величиной анизотропии имеют право на жизнь.

В качестве наглядного и простого примера рассмотрим однородную, но анизотропную космологическую модель, предложенную американским математиком Эдвардом Каз-нером (1878–1955) в 1922 году. Эта вселенная, в отличие от фридмановской, без материи, хотя ее можно заполнить веществом, но «пробным», так что оно не влияет на геометрию. Решение Казнера, метрика которого имеет вид

ds 2= c 2 dt 2= t 2 p 1 dx 2= t 2 p 2 dy 2= t 2 p 3 dz 2,

не выдумано, а является решением уравнений Эйнштейна. Параметры p 1, p 2, p 3удовлетворяют двум соотношениям p 1+ p 2+ p 3= 1 и p 1 2+ p 2 2+ p 3 2= 1. Отсюда следует, что все числа не могут быть равными одновременно, мало того, одно из них всегда отрицательно. Исключение составляют два вырожденных случая.

Поскольку модель пустая, то пространство характеризуется только значениями кривизны в каждой точке. Эти значения определяются только моментом времени и одинаковы во всех точках пространства, так как метрические коэффициенты не зависят от пространственных координат, то есть пространство однородно. Из ограничений на параметры можно сделать вывод, что эта вселенная расширяется. Действительно, элемент объема

dV = t p 1+ p 2+ p 3 dxdydz = tdxdydz увеличивается пропорционально времени. Однако увеличивается такая вселенная довольно странно – по двум координатам расширяется (тем, которым соответствуют положительные параметры), а по третьей – сжимается (ей соответствует отрицательный параметр). Очевидно, что это анизотропное поведение.

Казнеровский режим расширения, конечно, не соответствует современному расширению – слишком очевидна его анизотропия, которая не наблюдается. Однако, вблизи сингулярности t = 0, которая имеет место, так же, как и во фридмановском сценарии, решение Казнера представляется интересным космологам. Оказывается, при приближении к сингулярности возникает осциллирующий режим Казнера, когда отрицательный параметр начинает переходить от одного пространственного измерения к другому с возрастающей частотой. Это дает дополнительные возможности «подобраться» к пониманию физики космологической сингулярности. Связь с вселенной Фридмана, в которой мы живем, в одном из вариантов осуществляется следующим образом. Анизотропная часть модели Казнера трактуется как эффективная материя, которая с расширением распадается с образованием обычной материи. Если и остается анизотропия, то она не наблюдается из-за слабости эффекта.

В основном тексте было сказано, что каждой из моделей Фридмана: открытой, плоской и закрытой, соответствуют свои значения плотности энергии ε или плотности массы ρ в соответствии с определением ε = ρ с 2. Плоской модели соответствует критическая плотность ε кр= ρ кр с 2, открытой – ε < ε кр, а закрытой – ε > ε кр. Напрашивается очевидный вопрос: в каком мире мы живем?

Рассмотрим ситуацию несколько подробнее. Одно из уравнений Фридмана можно привести к виду:

Здесь ρ M означает плотность массы всей материи Вселенной, которую обычно записывают в виде суммы ρ M = ρ m + ρ dm + ρ de , где вклад представлен обычной материей (барионы, излучение), темной материей и темной энергией. Величина k называется знаком кривизны и определяет тип модели Фридмана: гиперболическому пространству соответствует k = –1, плоскому – k = 0, замкнутому – k = +1. В ходе эволюции Вселенной знак кривизны не меняется.