Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

G ab + Λ g ab = κ T ab .

Это не помогло – статическое космологическое решение этих уравнений существует, но это решение неустойчиво, следовательно, не может быть моделью реального мира. Тем не менее, понятие космологической постоянной оказалось востребованным, особенно в последнее время.

В этом дополнении мы обсуждаем координаты для черной дыры Шварцшильда, свободные от дефектов на горизонте. Их предложил Леметр, как систему отсчета, сопутствующую свободно падающим наблюдателям. Смысл ее в том, что в каждую точку пространства помещается наблюдатель. Наблюдатели никак не взаимодействуют между собой, они лишь свободно падают к центру, формально представляя собой точки. Каждому наблюдателю приписываются три пространственных координаты, которые вместе образуют пространственные координаты всего пространства-времени. А собственное время каждого наблюдателя вместе определяет координатное время новой системы отсчета. Форма решения сохраняет сферическую симметрию, поэтому можно сказать, что Леметр сделал переход от шварцшильдовых координат t и r к координатам сопутствующих наблюдателей (сопутствующей системе отсчета) τ и R .

Рис. Д1. Пространство-время геометрии Шварцшильда в сопутствующих координатах Леметра

Мы не приводим форму решения Леметра, а вот диаграмма на рис. 8.2 в его координатах принимает форму, представленную на рис. Д1. Обсудим ее. Наклонные на рис. Д1 соответствуют вертикальным линиям постоянных значений координаты r на рисунке 8.2, включая линии горизонта r = r g и сингулярности r = 0. Вертикальные на рис. Д1 – мировые линии сопутствующих наблюдателей . Как видно, они без помех пересекают горизонт.

Проследим за формой световых конусов на рис. Д1. Вне горизонта наклон «лепестков» превосходит 45º, на горизонте он равен 45º, а под горизонтом становится все меньше: конусы сужаются при приближении к «центру». Поскольку распространение лучей света происходит как раз по направлению конусов, а материальных частиц – по мировым линиям внутри конусов, то ясно, что вне горизонта r = r g возможно движение с удалением от горизонта во внешнюю область. По достижении горизонта такое движение невозможно. Под горизонтом становится неизбежным движение к «центру».

После того как определены понятия пространства Минковского в главе 5, собственного времени в главе 7 и горизонта событий в главе 8, интересно обсудить пространство-время ускоренных наблюдателей. Пусть один из таких наблюдателей движется прямолинейно вдоль оси x в пространстве Минковского с постоянным ускорением c 2/ X в направлении x . Пусть таких наблюдателей много и их ускорения меняются от бесконечности до нуля, что соответствует изменению X от 0 до ∞.

На рис. Д2 на диаграмме пространства Минковского в лоренцевых координатах x и t изображены мировые линии таких ускоренных наблюдателей: каждому наблюдателю соответствует свое значение X. Чем больше ускорение наблюдателя, тем его мировая линия ближе к началу координат. Ускорение каждого из них направлено в сторону увеличения x. Поэтому изначально двигаясь к началу координат, они снижают скорость до нуля при t = 0, а затем движутся в обратном направлении.

Рис. Д2. Мировые линии ускоренных наблюдателей

Поскольку скорости этих наблюдателей не могут превысить световые, то их мировые линии ограничены световыми конусами: A —0 и 0 A +, они вместе образуют так называемый «угол Риндлера». Кроме того, угол Риндлера – это предельная мировая линия наблюдателя, ускорение которого стремится к бесконечности. Эти конусы имеют смысл горизонта событий. Конус A —0 является горизонтом событий прошлого – ускоренные наблюдатели никак не могут повлиять на события за этим горизонтом. Конус 0 A +является горизонтом событий будущего , поскольку ускоренным наблюдателям недоступны для наблюдения события за этим горизонтом. Этот горизонт аналогичен горизонту шварцшильдовой черной дыры, в чем легко убедиться, сравнив рис. Д2 с диаграммой в координатах Леметра на рис. Д1.