Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Логика очевидна: нужно связать тензор энергии-импульса материи с кривизной пространства-времени. Самый простой и очевидный способ: отнести T ab в правую часть уравнений, а левую определить как некую комбинацию компонент тензора кривизны. Но как это сделать? Дело в том, что все уравнения вместе (гравитационные уравнения и уравнения для материи) должны быть совместны, иначе не будет существовать решений. Но как мы уже отметили, анализ уравнений материи в искривленном пространстве-времени приводит к выводу, что тензор энергии-импульса материи должен удовлетворять закону сохранения (непрерывности). Но тогда, чтобы все уравнения были совместны, нужно найти такую комбинацию из величин, связанных с кривизной, и которую мы собираемся написать в левой части уравнений, чтобы она тождественно удовлетворяла такому же закону сохранения. Такая комбинация была найдена – это так называемый тензор Эйнштейна G ab , построенный из компонент тензора Римана, а в конечном итоге зависящий от метрического тензора. Тогда уравнения для гравитационного поля записываются в виде:

G ab = κ T ab .

Здесь κ – постоянная Эйнштейна, которая выражается через ньютонову гравитационную постоянную G и скорость света c : κ = 8π G / c 4. Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании сображений, изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецкими математиком Давидом Гильбертом.

Но если есть уравнения, значит их нужно решать. То есть при ограничениях и условиях каждой конкретной задачи или модели нужно найти метрические коэффициенты в каждой точке пространства-времени и тем самым определить его геометрические свойства. Также необходимо найти, как в этом пространстве-времени распределена, движется и взаимодействует материя. Система гравитационных и материальных уравнений решается одновременно . Если можно так сказать, материя, искривляя пространство-время, распространяется в этом уже искривленном собой пространстве-времени. То есть процесс «сцепленный». Именно поэтому изначально система гравитационных и материальных уравнений строилась как совместная. Однако чтобы система имела решения, нужно чтобы условия и ограничения модели также не были противоречивыми.

Уравнения Эйнштейна носят локальный характер, как и многие другие уравнения физики. Это значит, что величины, которые в них входят, относятся по отдельности к каждой точке пространства-времени (или его части), где модель определена или задача рассматривается. В этой связи рассуждения, которые привели к уравнениям, требуют дальнейшего пояснения. Может показаться, что если в некоторой точке (и ее окрестности) нет материи, то в этой окрестности нет и кривизны. Это, конечно, неправильный вывод. Связь материи и искривленности пространства-времени была использована, чтобы построить непротиворечивую (совместную) систему уравнений. После того как уравнения представлены, решать их можно (и нужно) и с нулевой правой частью тоже, то есть в отсутствие материи вообще. Эти решения называют вакуумными. Действительно, гравитирующее тело должно «продавливать» пространство-время не только в той части, где оно находится, но и на достаточном удалении, где никакой материи нет, то есть в вакууме. В противном случае просто не будет гравитационного взаимодействия. По этому поводу полезно привести аналогию с упругой плоской линейкой: ее нельзя изогнуть только в одном месте, поскольку это будет означать, что она просто сломана. Так и здесь, если бы материя никак не прогибала окружающий вакуум, то на границе всегда возникали бы разрывы в описании различных физических величин, чего не наблюдается.

Уравнения в вакууме нужно решать, чтобы узнать насколько этот вакуум «продавлен» соседней материей. Наконец, некоторые решения вакуумных уравнений представляют такие важные решения, как гравитационные волны, которые представляют собой свободное (без всякой материи) распространение метрических возмущений, о чем говорится в главе о гравитационных волнах.

Как только уравнения были получены, Эйнштейн стал искать их важные решения, в том числе и космологические. В то время считалось, что Вселенная статична. А статическое космологическое решение никак не получалось – как выяснилось, оно просто не существует. Чтобы спасти статическое решение, Эйнштейн немного изменил уравнения. Это оказалось возможным без нарушения закона сохранения для левой части. К тензору Эйнштейна можно добавить член с так называемой космологической постоянной – Λ. Уравнения Эйнштейна в 1917 году приобрели вид: