Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

К назначенному времени истребители прикрытия вышли в район встречи с бомбардировщиками – но тех там не было. Летчики В26, жившие по центральному никарагуанскому времени, прибыли на целый час позже, в 7:30 по кубинскому восточному времени. Без прикрытия давно ушедших истребителей В26 оказались беззащитны – ВВС Кастро смогли сбить два B26 с американской символикой, что неопровержимо доказывало причастность США к попытке переворота. Политические последствия простой путаницы с часовым поясом были огромны – Куба прочно вошла в социалистическую систему, а год спустя разразился Карибский кризис.

Провал вторжения в залив Свиней частично объясняется делением дня, а значит, и всего мира, на две «половины», состоящие из 12 часовых поясов. Однако ошибка оказалась бы столь же катастрофической, будь Земля зонирована по другому принципу. Было бы таких сегментов 60 или 10 – разница во времени между никарагуанским и кубинским часовыми поясами оставалась бы неизменной в абсолютных величинах. Вообще, многие считают, что двенадцатеричная система намного превосходит преобладающую сегодня десятеричную. И «Двенадцатеричное общество Великобритании», и «Американское двенадцатеричное общество» утверждают, что наличие большего количества делителей – шесть (1, 2, 3, 4, 6 и 12) против четырех (1, 2, 5 и 10) – дает двенадцатеричной системе преимущество перед десятеричной – и не без оснований.

На собственном болезненном опыте общения с моими двумя детьми я понял, как важно делить все поровну. Теперь я знаю, что они предпочтут, чтобы каждому из них досталось по одной конфете, а не одному – пять, а другому – шесть. Когда мы остановились на станции техобслуживания по дороге к их бабушке и дедушке, я купил пакетик ирисок Starburst. Я передал им пакет на заднее сиденье, чтобы они разделили ириски между собой. Я же не знал, что в пакете было 11 ирисок и что детям придется делить между собой нечетное количество конфет. Ссору, сопровождавшую оставшуюся часть той долгой дороги на север, я запомню на всю жизнь. Так что теперь я предусмотрительно покупаю четное количество сладостей. Есть у меня друзья, у которых трое детей, – они всегда покупают сласти в количестве, кратном трем. Производители детских лакомств могут взять эту идею на заметку – продавая сласти наборами по 12 штук, вы можете максимизировать свою аудиторию и минимизировать потенциал для ссор, поскольку такие наборы подойдут для компании из 2, 3, 4, 6 или даже 12 детей. Остальным стоит запомнить, что, когда в следующий раз вам придется что-то делить строго поровну (например, торт на детской вечеринке), лучше делить на 12 – так больше шансов, что никто не окажется обиженным. Впрочем, надо признать, что и без дележа сластей или торта дети все равно найдут повод, чтобы поспорить.

Основная причина предпочтения двенадцатеричной системы счисления десятеричной заключается в том, что, как и в шумерской в шестедесятиричной базе, в двенадцатеричной больше «чистых» долей – делителей, на которые число делится без остатка – чем в десятеричной. Например, в десятичной записи одна треть выглядит бесконечным десятичным числом 0,33333…, тогда как в двенадцатеричной 1/3 можно просто считать четырьмя двенадцатыми и записать как 0,4 (на первом месте после разделителя записывается число двенадцатых долей). Но почему это важно? Прежде всего, отсутствие точного представления числа может иметь значение при повторных измерениях. В качестве примера рассмотрим погонный метр дерева, который вы собираетесь разделить на три одинаковые части, чтобы сделать ножки для табуретки. Используя грубую десятичную линейку, вы отмеряете первую треть, получая 33 см, и вторую – снова 33 см. Но остается последняя треть, которая составит 34 см. На табуретке с такими ножками сидеть будет неудобно. На линейке с двенадцатеричной шкалой одна треть – или четыре двенадцатых – метра была бы точной отметкой, позволяющей точно разделить кусок дерева на три ножки одинакового размера.

Сторонники двенадцатеричной системы утверждают, что она уменьшает необходимость округления и, следовательно, решает ряд общих проблем. В какой-то степени они правы. Несмотря на то что неустойчивый табурет доставляет, пожалуй, лишь незначительные неудобства, простые ошибки округления, возникающие в результате того, что при десятичной записи чисел их иногда приходится усекать, могут иметь более серьезные последствия.

Так простая ошибка округления на выборах в Германии в 1992 году едва не оставила лидера победившей социал-демократической партии без места в парламенте, когда округленный результат голосования за партию «зеленых» составил 5,0 % вместо 4,97 % [145] Weber-Wulff, D. (1992). Rounding error changes parliament makeup. The Risks Digest, 13 (37). . Приведем обратный пример: в 1982 году индекс недавно созданной Ванкуверской фондовой биржи непрерывно падал в течение почти двух лет, несмотря на уверенный рост рынка [146] McCullough, B. D., & Vinod, H. D. (1999). The numerical reliability of econometric software. Journal of Economic Literature, 37 (2), 633–65. https://doi.org/10.1257/jel.37.2.633 . Каждый раз при совершении сделки значение индекса округлялось до трех знаков после запятой, последовательно уменьшая значение индекса. При 3000 сделках в день индекс терял около 20 пунктов в месяц, что подрывало доверие рынка.