Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Создание позиционной системы счисления является, пожалуй, самым важным научным открытием всех времен. Неслучайно, что научной революции XV века в Европе непосредственно предшествовало широкое распространение на континенте десятеричной индо-арабской позиционной системы счисления (которую мы используем и сегодня). Позиционная система счисления позволяет зафиксировать любое число – вне зависимости от его размера – всего несколькими простыми символами. В египетской и римской системах положение символа не имело глобального значения. Вместо этого значение числа определялось самим символом, а это означало, что обе культуры были логически ограничены в развитии конечным количеством фигур, которые они могли представлять. Однако шумеры могли изобразить любое число на выбор с помощью своего набора из 60 символов. Их развитая позиционная система позволяла им выполнять такие сложные математические действия, как решение квадратных уравнений (которые естественным образом возникают в сельском хозяйстве при распределении земли) и тригонометрических задач.

Возможно, основная причина, по которой шумеры использовали шестидесятеричную систему, заключалась в том, что она значительно облегчала деление и операции с дробями. Число шестьдесят имеет множество делителей: на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60 оно делится ровно, без остатка. Попытка разделить фунт (состоящий из 100 пенсов) или доллар или евро (состоящие из 100 центов) на шестерых вызовет разногласия по поводу того, кто получит оставшиеся четыре пенни. Шумерскую мину, состоящую из 60 сиклей, однако, можно было поровну поделить между 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 или даже 30 людьми ко всеобщему удовлетворению. Шумерское 60-ричное основание также позволяет легко и точно поделить торт, например, на 12 равных кусков. Одна двенадцатая в шестидесятеричной системе составляет всего лишь пять шестидесятых. В шумерской «десятичной» записи – это число выглядело бы красиво и аккуратно – 0,5 (первое число после разделителя показывает количество шестидесятых долей, а не десятых), в отличие от уродливых 0,083333… (8 сотых, 3 тысячных, 3 десятитысячных и т. д.) в нашей десятеричной системе. По этой причине шумерские астрономы разделили купол ночного неба – словно круглый торт – на 360 (то есть 6 × 60) градусов, что серьезно облегчило астрономические прогнозы.

Древние греки, основываясь на шумерской традиции, делили каждый градус на 60 минут (обозначается ‘) и каждую минуту на 60 секунд (обозначается ’’). Вообще, слово «минута» означает чрезвычайно маленькую долю (в нашем случае круга), а слово «секунда» – второй уровень деления градуса. В астрономии до сих пор используется шестидесятеричная система позиционного счисления, позволяющая фиксировать размеры объектов, которые сильно отличаются в ночном небе. Круг – символ, обозначающий геометрический градус (как, например, в выражении 360°), который сегодня используется и для обозначения температуры, имеет астрономические корни: считается, что изначально так изображали солнце. Менее романтическая (и более математическая) версия предполагает, что решение применять надстрочный символ ˚ для градусов появилось естественным путем после того, как для его долей – минут и секунд, были использованы надстрочные символы ‘ и ’’; так была завершена последовательность ˚, ‘, ’’.

Возможно, мы не слишком хорошо знакомы с минутами и секундами, используемыми в астрономии, но есть гораздо более известная шестидесятеричная система, которая регулирует ритмы нашей повседневной жизни: время. С момента, когда мы просыпаемся, до момента, когда мы засыпаем, вольно или невольно мы часто думаем в шестидесятеричной системе. Неслучайно часы, временны́е отрезки каждого нашего дня, разбиты на 60 минут, а каждая минута – на 60 секунд.

Сами часы, однако, собраны в группы по 12. Именно древние египтяне разделили день на 24 сегмента (несмотря на то, что в основном использовали десятеричное основание): 12 дневных и 12 ночных часов, повторяя количество месяцев в солнечном календаре. При дневном свете время фиксировалось с помощью солнечных часов с 10 делениями. Были добавлены два сумеречных часа, по одному в начале и в конце дня – для периодов, когда солнечные часы бесполезны. Ночь была аналогичным образом разделена на 12 частей, привязанных ко времени восхода определенных звезд на небе.

Строгое деление дня на 12 световых часов заставляло египтян менять длительность каждого дневного часа в течение года в зависимости от сезонной освещенности: летом часы было длиннее, зимой – короче. Древние греки поняли, что для точных астрономических вычислений необходимо сделать временны́е отрезки равными, поэтому они разделили сутки на 24 часа равной длины. Однако укоренилась эта идея лишь с появлением первых механических часов в Европе в XIV веке. К началу XIХ века надежные механические часы получили широкое распространение. Большинство городов Европы разделили свой день на два периода по 12 равных часов.