Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Героев этих рассказов легко высмеивать за очевидные ляпы, но обилие таких историй свидетельствует, что простые ошибки возможны, что они случаются часто – и с самыми серьезными последствиями. Отчасти эта тяжесть вызвана особенностями десятеричной системы счисления и записи. В таком числе, как 222, каждая двойка представляет собой разное число: 2, 20 и 200, причем каждое из них в десять раз больше последующего. Десятикратный коэффициент масштабирования и делает ошибку при постановке десятичного разделителя столь серьезной. Используй мы двоичную систему счисления (где каждый знак лишь вдвое больше последующего), на которой основана вся наша современная компьютерная технология, мы, возможно, смогли бы избежать таких последствий. Инъекция вдвое большего объема инсулина или употребление даже четырехкратного объема кофеина, возможно, не вызывали бы подобных осложнений.

В этой главе мы познакомимся с тем, как системы, «пронумеровывающие» нашу повседневную жизнь, приводят к ошибкам, которые очень дорого нам обходятся. Мы раскроем зачастую незаметное влияние давно, казалось бы, исчезнувших систем счисления, которые проливают свет на события нашей истории и на особенности нашей биологии. Мы обнаружим свойственные этим системам недостатки и взглянем на разрекламированные альтернативные системы, которые помогают избежать распространенных ошибок. Мы проследим за естественным отбором наших систем счисления – как они заходят в тупик в своем развитии и как следуют пересекающимися маршрутами вместе с развитием цивилизации. Как и в случае с культурными предрассудками, мы выявим математическое мышление, которое настолько глубоко укоренилось в нашем подсознании, что мы даже не осознаем, как оно формирует и ограничивает наши интересы.

Полное название современной системы счисления, которой мы пользуемся, – система десятичных разрядных значений. Разрядных – потому что одна и та же цифра в другой позиции (разряде) может иметь другое числовое значение. Десятичных – потому что каждая цифра в соседней позиции представляет собой число в десять раз больше или меньше своего соседа. Коэффициент умножения между разрядами – 10 – называется основанием. Мы используем именно десятичное основание, а не какое-то другое, скорее в силу биологического случая, а не тщательно продуманного плана. Хотя некоторые из наших предков выбрали другую основу, подавляющее большинство культур, разработавших числовые системы (армяне, египтяне, греки, римляне, индийцы, китайцы и т. д.), выбрали десятичную систему. Все просто: когда мы поняли необходимость счета, мы начали использовать для этого пальцы – во многом так же, как учим наших детей считать и сегодня.

Хотя система счисления на десятичном основании была наиболее распространенной у наших предков, некоторые культуры выбрали другие основания, исходя из различных аспектов нашей биологии. Индейцы юки, проживающие на территории Калифорнии, ведут восьмеричный счет, используя в качестве маркеров пространство между пальцами, а не сами пальцы. Шумеры основанием системы счисления избрали число 60. Его они получили, подсчитав 12 суставов четырех пальцев правой руки большим пальцем и откладывая пять раз по 12 (в сумме 60) на пяти пальцах левой руки. Народность оксапмин на Папуа Новой Гвинее используют 27-ричную систему: подсчет начинается с большого пальца на одной руке (1), перемещается вверх и вниз по рукам и шее через нос (14) и заканчивается на мизинце другой руки (27). Так что десять пальцев – вовсе не единственные части тела, вдохновившие человечество на создание системы счисления, но они были наиболее очевидными, поэтому наши предки на заре математики чаще всего использовали именно их.

Создав систему счисления, культура получает возможность развития высшей математики, которую можно было бы использовать в практических целях. Многие из древнейших человеческих цивилизаций владели весьма развитым математическим аппаратом. К третьему тысячелетию до нашей эры египтяне, например, могли складывать, вычитать, умножать и использовать простые дроби. Соответственно, они знали формулу объема пирамиды, и есть свидетельства того, что они обнаружили прямоугольные треугольники со сторонами длиной 3, 4 и 5 – так называемую пифагорову тройку – задолго до Пифагора. Египтяне использовали распространенную десятеричную систему счисления, но не пользовались разрядами [143] Такая система счисления называется непозиционной. – Прим. пер. . Вместо этого у них были отдельные иероглифы для разных степеней десяти. Эти пиктограммы чисел не нужно было записывать в каком-то определенном порядке – египтяне узнавали их значение просто на взгляд. Число 1 изображалось всего лишь одним штрихом – почти так, как мы делаем сегодня; 10 – хомутом, 100 – бухтой веревки, а 1000 – изящной водяной лилией. Согнутый палец обозначал 10 000, жаба – 100 000, а бог Хех – олицетворение бесконечности или вечности – 1 000 000. Миллион для древних египтян был очень большим числом. Если они хотели изобразить число 1999, они рисовали одну водяную лилию, девять бухт веревки, девять хомутов и девять вертикальных штрихов. Несмотря на громоздкость, для чисел менее миллиарда эта система работает достаточно хорошо. Однако, если бы египтяне смогли представить число звезд во Вселенной (считается, что порядка септиллиона – 1 000 000 000 000 000 000 000 000 в нашей десятичной записи), им пришлось бы нарисовать бога Хеха квинтиллион (миллиард миллиардов) раз, что, конечно, не очень практично.