Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Такие высокие показатели ложных тревог обусловлены двумя факторами. Во-первых, по очевидным причинам, сигнал тревоги в отделениях интенсивной терапии настроен на срабатывание по малейшему поводу: порог намеренно устанавливают предельно близко к нормальным физиологическим показателям, чтобы гарантированно засечь даже малейшие аномалии. Во-вторых, сигнал тревоги срабатывает не на устойчивое отклонение показателя, а в тот момент, когда отслеживаемый параметр пересекает заданный уровень. В итоге, например, малейшего – даже на мгновение – скачка артериального давления достаточно для срабатывания сигнала тревоги. Хотя этот скачок может быть признаком опасной гипертонии, он вполне может быть вызван естественными изменениями или шумами в измерительной аппаратуре. Однако, если артериальное давление останется высоким надолго, мы вряд ли спишем это на погрешность измерения. К счастью, у математики есть простой способ решить проблему.

Решение называется фильтрацией. Это процесс, при котором сигнал в заданной точке заменяется на усредненный по соседним точкам. Это звучит сложно, но мы постоянно сталкиваемся с отфильтрованными данными. Когда климатологи утверждают, что «мы только что пережили самый теплый год за все время измерений», они не сравнивают данные о температуре по дням. Вместо этого они могут усреднять данные по всем дням года, сглаживая колебания дневных температур, что облегчает сравнение.

Фильтрация имеет тенденцию сглаживать сигналы, делая пики менее выраженными. Необходимая при съемке с помощью цифрового фотоаппарата в полумраке долгая экспозиция часто приводит к появлению так называемого «зерна». Иногда на темных участках изображения появляются яркие пиксели, и наоборот. Поскольку интенсивность пикселей на снимке представлена в цифровом виде, с помощью фильтрации можно заменить значения каждого пикселя на среднее значение соседних, что позволяет отфильтровать шумы и получить более «гладкое» изображение.

При фильтрации можно использовать самые разные виды усреднений. Лучше всего нам знакомо выведение среднего арифметического значения. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа заданного множества и поделить полученную сумму на количество этих чисел. Если бы, например, мы хотели найти средний рост Белоснежки и семи гномов, мы сложили бы рост каждого из них и разделили на восемь. При этом рост Белоснежки – пиковый на фоне остального множества – заметно скажется на результате подсчета, исказив его в сторону увеличения. Более репрезентативное среднее значение – медиана. Чтобы найти медианный рост упомянутой компании, мы выстроим гномов и Белоснежку в ряд по росту (Белоснежку первой, Простака в конце) и возьмем за базовое значение рост того, кто стоит в середине ряда. Поскольку в нем восемь персонажей (четное число), средним не оказывается никто. Так что за медиану мы примем среднее арифметическое роста двоих средних (Ворчуна и Сони). Используя медиану, мы можем отбросить рост Белоснежки, который настолько смещал значение среднего арифметического. По той же причине медиана часто используется при представлении данных о среднем доходе. Как видно из рисунка 4, высокая заработная плата очень обеспеченных людей в нашем обществе имеет тенденцию искажать среднее значение – с этой идеей мы снова столкнемся в следующей главе, обсуждая, как математика может сбивать с толку в зале суда. Медиана дает нам лучшее представление о возможном «стандартном» располагаемом доходе семьи, чем среднее арифметическое. Конечно, можно утверждать, что при таких подсчетах не следует пренебрегать ростом Белоснежки или доходами высокооплачиваемых людей, ведь они так же истинны, как и любые другие данные из множества. Может, и так, но суть в том, что ни медиана, ни среднее арифметическое не являются истинными ни в каком объективном смысле. Просто различные виды усреднений применяются для разных целей.

ДОМОХОЗЯЙСТВА (ТЫС.)

При фильтрации зернистого цифрового изображения мы хотим удалить эффекты побочных значений пикселей. При усреднении по соседним значениям пикселей средняя фильтрация будет корректировать, но не полностью удалять эти экстремальные значения. И наоборот, при медианной фильтрации крайние шумовые значения пикселей эффективно игнорируются.

Рис. 4. Распределение домохозяйств Великобритании с заданным располагаемым (после уплаты налогов) доходом (с шагом £1000) в 2017 году. Медианное значение (£ 27 310) можно считать лучшим отображением «стандартного» располагаемого дохода домохозяйства, чем среднее арифметическое (£32 676)