Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Если рассмотреть последовательность Гудстейна с начальным числом a 1 и если в этой последовательности после члена с номером n все остальные обращаются в ноль, (так что справедливо a n = 1 и a n + 1 = 0)то мы обозначим этот номер n выражением n = Θ ( a 1). При таких обозначениях имеем: Θ(1) = 1, Θ(2) = 3, Θ(3) = 5 и Θ(4) = 3 × 2 402 653 211.

Последовательность Гудстейна с головокружительной скоростью растет, например, при a 1 = 19. (Число 19 хорошо подходит для понимания сути процесса, так как следующие два члена последовательности можно записать в виде степенной башни.) Второй член последовательности вычисляется исходя из:

a 1 = 2 (19) = 2 22 + 2 + 1

и, таким образом,

3 Ω 2 (19) = 3 33 + 3 + 1, a 2 = 3 33 + 3

Это уже весьма большое число, а именно a 2 = 7 625 597 484 990. Третий член последовательности, a 3, вычисляют так:

4 Ω 3 (3 33 + 3) = 4 44 + 4, a 3 = 4 44 + 3.

Этот член последовательности является числом, которое начинается с 13… и имеет 155 разрядов. Четвертый член последовательности является результатом следующих вычислений:

5 Ω 4 (4 44 + 3) = 5 55 + 3, a 4 = 5 55 + 2.

Это число начинается с 18… и имеет 2185 разрядов. Пятый член последовательности получают так:

6 Ω 5 (5 55 + 2) = 6 66 + 2, a 5 = 6 66 + 1.

Это число начинается с 26… и имеет 36 306 разрядов. И наконец, следующие вычисления дают шестой член последовательности согласно уравнениям:

7 Ω 6 (6 66 + 1) = 7 77 + 1, a 6 = 7 77 .

Это число начинается с 38… и имеет 659 974 разряда. Последовательность Гудстейна, начинающаяся с a 1 = 19, приводит просто к немыслимо большим, неизмеримым числам.

Однако сам Гудстейн утверждает, что и эта последовательность рано или поздно закончится нулем. Это совершенно необъяснимо, но и сам Гудстейн не имеет ни малейшего представления о том, как долго придется ждать этих нулей. Он просто утверждает, что когда-нибудь это все же произойдет. Ясно одно — надо пройти гигантское число членов последовательности, число, превосходящее всякое воображение и всякие возможности его представления, чтобы когда-нибудь, при n = Θ(19), обнаружить, что a n + 1 = 0. Более того, Гудстейн утверждает, что созданная им последовательность чисел

a 1 , a 2 = 3 Ω 2 ( a 1 ) — 1, a 3 = 4 Ω 3 ( a 2 ) — 1, a 4 = 5 Ω 4 ( a 3 ) — 1, a 5 = 6 Ω 5 ( a 4 ) — 1….

всегда должна заканчиваться нулем, независимо от того, с какого числа a 1 начата эта последовательность. Это ошеломляющее, поистине невероятное высказывание. Мы не можем утверждать это даже для числа a 1 = 19. Но закономерность справедлива, говорит нам Гудстейн, даже для такого чудовищно большого числа, как a 1 = 3↑↑↑3. И это вопреки тому факту, что нам никогда не удастся назвать число 2(3↑↑↑3), а уж следующий член последовательности a 2 = 3Ω 2(3↑↑↑3) — 1 сокрыт и в вовсе непроглядном мраке.

В какой-то момент, уверен Гудстейн, когда основания для каждого последующего члена увеличивают на единицу, мы получим гигантские значения членов последовательности. Для того чтобы обосновать это, Гудстейн, однако, должен дать точное математическое определение бесконечному, к которому стремятся лопающиеся от своей величины члены последовательности Гудстейна. Мы подробнее поговорим об этом в последней главе. Соответствует ли эта математическая модель существу самого понятия бесконечного — вопрос открытый, и, вероятно, он всегда останется открытым.

Если принять примененную Гудстейном математическую модель бесконечности всерьез, то фактически он прав. Существуют не только числа Θ(1), Θ(2), Θ(3) и Θ(4), существует также и число Θ(19). Собственно, должно существовать и число Θ(3↑↑↑3) — поистине головокружительное число.