Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

На основании этих рассуждений Аристотель делает следующий вывод: если существуют числа х и у , для которых справедлива формула у ² = 2 х ², то ни одно из этих чисел не может быть нечетным. Оба числа х и у должны быть четными.

Сторона квадрата, из которого мы исходили, должна, следовательно, иметь протяженность, равную четному количеству выбранных единиц длины, так же как четное количество единиц длины должно составлять протяженность его диагонали. Но, рассуждает дальше Аристотель, мы можем с равным успехом исходить из квадрата, у которого сторона и диагональ в два раза меньше, чем у квадрата исходного. Но и у этого квадрата длины сторон и диагонали должны выражаться четными числами единиц длины. Этот следующий квадрат мы снова можем уменьшить в отношении 1:2. Однако и в этом, меньшем квадрате длины сторон и диагонали опять-таки выражаются четными числами единиц длины.

Это последовательное деление сторон и диагоналей квадратов можно продолжать до бесконечности. Но как бы малы ни были стороны и диагонали квадратов, они все равно выражаются четными числами единиц длины, и поэтому и сторону и диагональ можно снова делить пополам.

Но это в конце концов приводит к абсурду, ибо стороны и диагонали квадратов содержат целочисленные значения единиц длины, и их невозможно произвольно делать сколь угодно малыми.

Поэтому, делает вывод Аристотель, вообще не существует целых чисел х и у , для которых справедливо равенство у ² = 2 х ². (В наше время, возможно, кто-то стал бы протестовать, потому что при х = 0 и при у = 0 равенство становится справедливым. Но греки, при всем их уме, не считали ноль числом, а оперировали только положительными целыми числами 1, 2, 3, 4, 5…) Именно поэтому отношение длины диагонали к длине стороны квадрата не может быть дробью.

Есть, однако, одержимые математикой люди, которые не могут удовлетвориться полученными результатами. Эти люди постоянно задают вопросы и пытаются найти более всеобъемлющие решения.

Так и в нашем случае. Если уж нет чисел х и у , для которых справедливо равенство у ² = 2 х ², то, может быть, существуют числа х и у , которые соответствуют справедливому равенству у ² = 2 х ² + 1. При таком малом добавлении, как «+1», все меняется пренебрежимо мало, но зато камня не остается на камне от аргументации Аристотеля. Действительно, оказывается, что в приведенном выше примере с числами х = 12 и у = 17 это уравнение верно, как верно оно и для многих других чисел. Более того, удалось доказать, что у этого уравнения бесчисленное множество решений.

Пьер де Ферма, французский ученый-любитель, с которым мы познакомились как с соавтором «исчисления», вскользь упомянул о нем в частном письме. Ферма также утверждал, что множитель 2 перед х ² в формуле у ² = 2 х ² + 1 можно заменить любым другим целым числом, если оно само не является квадратом. Так, на самом деле существует бесконечное множество значений х и у , при которых справедливо равенство у ² = 3 х ² + 1, и бесконечное множество значений х и у , удовлетворяющих равенству у ² = 5 х ² + 1, и так далее. Иногда приходится долго искать значения неизвестных в данном равенстве. Например, в уравнении у ² = 991 х ² + 1 первыми наименьшими значениями х и у , удовлетворяющими ему, являются гигантские числа:

х = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767

и

у = 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.

Откуда Ферма черпал свою убежденность, мы не знаем. Только через сто лет дотошный швейцарский математик Леонард Эйлер доказал, что Ферма был прав.

Архимед, однако, на много сотен лет раньше знал то, во что верил Пьер де Ферма и сумел доказать Леонард Эйлер. Дело в том, что вторая часть загадки о быках Гелиоса сводится к нахождению двух чисел х и у , удовлетворяющих уравнению

у ²= 410 286 423 278 424 х ² 1.

Как мы видим, речь идет об уравнении того же типа, что и у ² = 2 х ² + 1, у ² = 5 х ² + 1 или у ² = 991 х ² + 1. Единственное отличие — очень большой множитель перед х ².

Для знатоков: значение 70 возникает потому, что 70 сотых, то есть 0,7, с вполне достаточной точностью соответствует натуральному логарифму числа 2.

Однако это лишь начало того, как математика может продуцировать большие числа.