Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Тот, кто все же хочет знать точный результат, должен принять во внимание следующее соображение: каждый раз, когда мы заменяем число 1024 числом 1000 = 10³, то есть удобным для вычислений приближением, мы допускаем ошибку, составляющую 2,4 процента от точной величины. Эту ошибку в ущерб числу рисовых зерен мы совершаем на 11, 21, 31, 41, 51 и 61-м поле, то есть в шести пунктах шахматной доски. Таким образом, разница между грубо прикинутым количеством риса и точным числом рисовых зерен, которые надо высыпать на доску, составляет 6 × 2,4 = 14,4 %, то есть это величина относительной разницы между 16 квинтиллионами зерен и точным числом. 15 процентов от шестнадцати составляет 2,4, то есть 15 процентов от 16 квинтиллионов составляют 2,4 квинтиллиона, которые и надо прибавить к этому количеству, и в результате мы получим те же 18,4 квинтиллиона зерен.

Вооружившись высокопроизводительной вычислительной машиной, можно сложить 64 числа, каждое из которых получается в результате удвоения предыдущего числа, начиная с единицы. Результат в точности равен:

18 446 744 073 709 551 615,

то есть 18 квинтиллионам 446 квадриллионам 744 триллионам 73 миллиардам 709 миллионам 551 тысяче 615 рисовым зернам. Надо заметить, что существует более простой способ получения такого же точного результата: сумма всех предыдущих чисел равна удвоенному значению последнего числа минус единица. Вот, например, сумма зерен в первом ряду шахматной доски:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 2 × 128 — 1 = 256 — 1 = 255.

Это значит, что для того, чтобы получить сумму всех зерен на шахматной доске, надо возвести два в 64 степень, и из полученного результата

18 446 744 073 709 551 616

вычесть единицу.

Насколько легко люди поддаются заблуждениям, показывает следующий пример: допустим, что Земля — это идеальный шар, окружность которого по экватору равна в точности 40 тысячам километров. Допустим, что этот шар по экватору туго обтянут шнуром. После этого шнур немного ослабляют, увеличив его длину на 10 сантиметров. Насколько удалится шнур от поверхности Земли, если удлинение распределить равномерно по всей длине шнура? Сможем ли мы просунуть под шнур хотя бы песчинку, имеющую в диаметре одну сотую миллиметра? Поразительный ответ гласит, что мы сможем просунуть под шнур не только крошечную песчинку, но даже довольно толстый палец диаметром более 1 сантиметра, причем сразу в нескольких местах приподнятого над поверхностью Земли шнура.

Гиппарх учел, что тень Земли имеет не цилиндрическую, но коническую форму. Угол раствора этого конуса, который определяет уменьшение диаметра тени при удалении от источника света, Гиппарх смог вывести из величины солнечного диска. Умелое применение тригонометрических закономерностей, хорошо известных греческим математикам того времени, позволило Гиппарху измерить и рассчитать расстояние от Луны до Земли с относительной погрешностью всего в один процент.

Аргумент, выдвинутый изобретателями «исчисления», можно попытаться защитить следующим образом: с одной стороны, «бесконечное» обладает тем свойством, что если из «бесконечного» вычесть единицу, то оно все равно останется «бесконечным», а с другой стороны, удвоенное «бесконечное» является опять-таки «бесконечным». Отсюда можно утверждать, что сумма

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

может быть «бесконечной», и это вполне осмысленный результат. Тем не менее эта апология стоит на весьма шатком основании.

Во-первых, вычислять «бесконечное» не так просто, как вычислять конечные числа. Что, например, получится, если из «бесконечного» вычесть «бесконечное»? Любой человек, не задумываясь, ответит: ноль. Если, однако, второе «бесконечное» уменьшено на единицу по сравнению с первым «бесконечным», то разность должна быть равна единице, ибо второй «бесконечности» приписано на одну единицу меньше, чем первой. Кто-то может сказать, что если «бесконечное» вычесть из удвоенного «бесконечного», то получится снова «бесконечное», ибо из удвоенного «бесконечного» вычитают «бесконечное» одинарное. Короче, противоречие на противоречии.

Во-вторых, даже получение суммы частей уджата могло бы дать в результате бесконечность, ибо если поверить изобретателям «исчисления», то «бесконечное» обладает тем свойством, что, с одной стороны, «бесконечное», уменьшенное на одну вторую, остается «бесконечным» и что половина «бесконечного» опять-таки равняется бесконечности. С другой стороны, почему, собственно, на примере этой бесконечной суммы мы убеждены, что правильный ответ заключается в том, что сумма равна 1, а не бесконечности?