Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Пример сказочно большого числа, перед которым бледнеет даже число 3↑↑↑3, мы получим, если воспользуемся методом, придуманным британским математиком Рубеном Луисом Гудстейном в 1944 г. Однако для того, чтобы проследить за его рассуждениями, мы начнем рассказ издалека.

Сначала мы разберемся, что значит представление числа «по основанию». При этом основанием мы назовем любое число, отличное от единицы. Рассмотрим, например, наименьшее из возможных оснований — число 2, и число 42. Мы делим это число на основание, то есть в нашем случае 42:2, получаем частное 21 и остаток 0 и записываем результат следующим образом:

42 = 21 × 2 + 0.

Теперь разделим частное на основание, в нашем примере, 21:2, и получаем частное 10 и остаток 1, то есть:

21 = 10 × 2 + 1.

Эту игру мы продолжим до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. То есть последовательность результатов деления

42 = 21 × 2 + 0

21 = 10 × 2 + 1

10 = 5 × 2 + 0

5 = 2 × 2 + 1

2 = 1 × 2 + 0

1 = 0 × 2 + 1.

Теперь выписываем всю последовательность результатов:

42 = 21 × 2 + 0 =

= (10 × 2 + 1) × 2 + 0 = 10 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (5 × 2 + 0) × 2² + 1 × 2 + 0 = 5 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (2 × 2 + 1) × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 = 2 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (1 × 2 + 0) × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

=1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0.

Итак, результатом

42 = 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0

число 42 представлено по основанию 2. Назовем полученные перед степенями двойки множители 1, 0, 1, 0, 1, а также приписанный в конце 0 (это множитель при нулевой степени 2 или 2 0— которая равна единице, ибо нулевая степень любого числа считается равной единице) «цифрами» числа 42 по основанию 2. Выписанное выше представление 42 по основанию 2 можно в сокращенном виде записать так (1 0 1 0 1 0) 2, или, подробнее:

42 = 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 = (1 0 1 0 1 0) 2 .

Число 42 можно представить и по основанию 5. В этом случае процесс деления выглядит так:

42 = 8 × 5 + 2

8 = 1 × 5 + 3

1 = 0 × 5 + 1.

Теперь можно объединить эти результаты, представив их так:

42 = 8 × 5 + 2 = (1 × 5 + 3) × 5 + 2 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2,

получив в итоге

42 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2 = (1 3 2) 5 .

Еще проще представить 42 по основанию 7. Здесь достаточно двух делений

42 = 6 × 7 + 0

6 = 0 × 7 + 6,

откуда непосредственно вытекает представление

42 = 6 × 7 + 0 = (6 0) 7 .

Так же просто представить 42 по основанию 10. Для этого тоже нужны всего два деления:

42 = 4 × 10 + 2

4 = 0 × 10 + 4,

откуда следует представление 42 = 4 × 10 + 2 = (4 2) 10.

Представление числа по основанию 10 известно нам со времен Адама Ризе: это обычная запись числа в десятичной системе.

Нам, однако, для последующего изложения важны различные основания, ибо только так мы поймем, что имел в виду Гудстейн, говоря о «раздувании» чисел: при раздувании числа 42 от основания 5 к основанию 6 в представлении

42 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2

заменяют все числа 5 числом 5 + 1 = 6 и рассчитывают полученное таким образом число:

1 × 6² + 3 × 6 + 2 = 36 + 18 + 2 = 56.

При раздувании от основания 5 до основания 6 из числа 42 получают большее число, а именно 56. Точно так же можно раздуть число 42 от основания 7 до основания 8: исходя из равенства 42 = 6 × 7 + 0, образуют, заменяя 7 выражением 7 + 1 = 8, выражение 6 × 8 + 0 = 48. Здесь из числа 42 получается число 48. При раздувании числа 42 от основания 10 к основанию 11 заменяют 10 числом 10 + 1 = 11 и записывают: 4 × 11 + 2. Это дает раздутое число 46. Однако, раздувая число 42 от основания 2 к основанию 3, мы должны учесть одно дополнительное требование, установленное Гудстейном: по основанию 2 число 42 выглядит так:

42 = 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0.

Здесь мы видим показатели степени, которые точно так же можно представить по основанию 2, а именно:

5 = 1 × 2² + 0 × 2 + 1, 4 = 1 × 2² + 0 × 2 + 0, 3 = 1 × 2 + 1 и 2 = 1 × 2 + 0.

Эти представления показателей степеней вводят в вышеприведенную формулу так, чтобы в полученном представлении числа 42 нигде, включая и показатели степени, не встречались числа, бо́льшие 2:

42 = 1 × 2 1 × 22 + 0 × 2 + 1 + 0 × 2 1 × 22 + 0 × 2 +0 + 1 × 2 1 × 2 + 1 + 0 × 2 1 × 2 +0 + 1 × 2 + 0.