Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

75. bЕсли частота взрывов сверхновых была постоянной, то следует ожидать, что за 1,4 1010 лет, прошедших после Большого взрыва, взорвалось

1,4 108 лет сверхновых. На самом деле их было раз в десять больше, поэтому темп появления сверхновых в прошлом был заметно выше. Более того, мы пришли к тому же выводу для большинства галактик в ближайшей к нам области

Вселенной. Учитывая, что сверхновая — это взрыв массивной, а следовательно, относительно недавно образовавшейся звезды, мы можем предсказать, что раньше скорость звездообразования в галактиках была значительно выше.

К счастью, мы имеем возможность наблюдать это непосредственно: поскольку скорость света конечна, мы видим далекие галактики такими, какими они были в прошлом, и темп формирования звезд в этих галактиках и в самом деле в среднем гораздо выше, чем в галактиках, находящихся поблизости.

76. Гало темного вещества

76. аРассмотрим звезду массой m и радиусом r , которая вращается по круглой орбите со скоростью v . Ускорение, которое обеспечивает это движение по кругу, равно а = v 2/ r . Это ускорение вызывает определенная сила — гравитационное притяжение вещества, находящегося в пределах радиуса r . Вещество действует так, словно оно все находится в центре, то есть на расстоянии r .

Обозначим массу вещества в пределах радиуса r за М (< r ) и получим

2 v

GM (< r ) m

F = ma = m =

.

2 r r

Нас просят найти массу Млечного Пути в пределах r , поэтому, решив это уравнение относительно М (< r ), получим

(<) 2 vr

M

r =

.

G

288

Решения

Обратите внимание, что результат не зависит от массы звезды m , с которой мы начали. Это часто бывает в задачах на гравитацию: ускорение всех тел в конкретной точке гравитационного поля одинаково. Кроме того, обратите внимание, что при плоской кривой вращения (какую мы наблюдаем у Млечного Пути) масса растет пропорционально радиусу. Это следствие из того, что Млечный Путь окружен массивным гало темного вещества, и чем дальше от центра, тем сильнее ощущается гравитация постоянно увеличивающейся массы. В дальнейшем мы увидим, что из этого следует.

76. bСредняя плотность в пределах радиуса r — это масса, деленная на объем. Рассмотрим сферу радиуса r ; воспользовавшись массой, найденной в части а), получаем

M (< r )

2

2 v r / G

3 плотность v

=

=

=

.

3

2 объем

4 r

π / 3 4 G

π r

Следовательно, хотя масса при удалении от центра растет, объем растет быстрее, и плотность на самом деле падает. Плотность темного вещества при удалении от центра Млечного Пути снижается.

76. сЕсть два способа найти массу. Можно просто воспользоваться формулой для М (< r ) в том виде, в каком мы вывели ее в части а), задав в качестве верхнего предела радиуса половину расстояния между галактиками, то есть 1 миллион световых лет:

(×

)

16

2

5

6

10 м

2,2 10 м / с ×10 св. лет×

2 v r

1 св. год галактики галактики

M

<

=

галактики

G

2

10

−

3 2

−

1

×10 м с кг−

3

3

10+6+16+10

42

= 5× ×10 кг = 7×10 кг.

2

Знак < (меньше) в этой формуле означает, что это верхний предел, который получается если предположить, что компонента гало Млечного Пути, состоящая из темного вещества, и в самом деле простирается на миллион световых лет.

289

Решения

Одна масса Солнца равна 2 1030 кг, поэтому окончательный ответ выглядит так: масса равна 3,5 1012 масс Солнца, то есть 3,5 триллиона масс Солнца. Почти вся эта масса — темное вещество.

Второй способ вычислить нужную величину — взять за масштаб Солнечную систему: Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с на расстоянии 1 а. е. Можно применить ту же формулу, чтобы вывести массу

Солнца:

2 v r

Земли Земли

M

=

.

Солнца

G

Взяв отношение этого выражения к формуле для Млечного Пути в целом, получим

2

2

6

16

M

⎛ v

⎞ r

⎛ 220 ⎞ 10 св. лет×10 м / св. год галактики галактики галактики

<

=

⎜

⎟

⎜

⎟

11

M

v r

⎝ 30 ⎠

1,5×10 м

Солнца

⎝ Земли ⎠ Земли

2

7

11

=

×10.

1,5

Таким образом, М

= 3 1012 М

Наш ответ несколько отлигалактики

Солнца чается от предыдущего только из-за погрешностей при округлении.