Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Здесь вам, вероятно, стало интересно, когда пора переводить угловые секунды в радианы. Но помните, что по определению парсека малоугловая формула работает для в угловых секундах, d в парсеках и s в а. е. Поэтому, если мы выполним арифметические расчеты как есть, то получим ответ в а. е.

Тогда ответ гласит, что большая полуось равна 800 а. е. или, поскольку одна а. е. равна 1,5 108 км, получаем 1,2 1011 км.

74. bВспомним формулу, связывающую скорость на орбите v , радиус r и массу центрального объекта М :

2

GM

v =

.

r

Однако в данном случае у нас есть период обращения по орбите; перепишем уравнение, учтя, что v = 2 r / P : 2

⎛ 2 r

π ⎞

GM

⎜

⎟ =

.

⎝ P ⎠

r

Решим уравнение относительно М и получим:

2 3

4π r

M =

.

2

P G

285

Решения

Мы только что вывели ньютоновскую форму третьего закона Кеплера.

Теперь, как обычно, можно было бы подставить в нее все числа и перевести все в соответствующие единицы. Но есть и более простой способ: вспомним, что мы можем записать в точности то же самое уравнение для орбиты Земли вокруг Солнца (где Р = 1 год, а r = 1 а. е.). Если теперь взять отношение двух уравнений, многое сократится, единицы станут проще, и мы выведем куда более простую формулу:

3

2

M вцентреМП ⎛ 800 а. е. ⎞ ⎛ 1 год ⎞

=

×

.

M

⎜ 1а.е. ⎟ ⎜ 11,5 лет ⎟

Солнца

⎝

⎠ ⎝

⎠

Поглядим, что получается. 8003 5 108, а 11,52 130, тогда

8

M вцентреМП 5×10

6

=

≈ 4×10.

M

130

Солнца

Обратите внимание, что мы автоматически получили результат в желаемых единицах, то есть в массах Солнца. Мы обнаружили, что центральная масса, вокруг которой вращается звезда, имеет массу в 4 миллиона раз больше солнечной. Ничего себе!

74. сПлотность — это масса, деленная на объем. Предположим, что объект сферичен, тогда его максимально возможный объем — это объем сферы радиусом 45 а. е. А массу мы только что вычислили в части b). Тогда минимально возможная плотность (то есть ее нижний предел) — это отношение массы к максимально возможному объему. Посчитаем. Никаких хитростей, которые позволили бы нам сэкономить время, здесь нет, мы хотим получить результат в граммах на кубический сантиметр, поэтому придется преобразовывать единицы:

6

33

M

4×10 M

×4×10 г / M

Солнца олн

С ца

ρ =

=

.

V

4 π(45а.е.×1,5×10 см/а.е.)3

13

3

286

Решения

Мы, как обычно, приближенно принимаем 3. Поскольку 1,53 4 и еще мы запишем 45 100/2, многие числа сократятся, и мы получим

8 106 + 33–45 г/см3 10–5 г/см3.

Не то чтобы эта плотность была ужасно высокой, но любая обычная группа звезд указанной общей массы, упакованная в такой маленький объем, светила бы немыслимо ярко и была бы легко видна в наши телескопы.

Единственное объяснение существования настолько большой и при этом невидимой массы в таком маленьком объеме — черная дыра.

74. dЗвезда на орбите радиусом 100 парсек подвергается гравитационному притяжению всего вещества в сфере внутри этой орбиты. Это вещество включает и черную дыры, и все звезды в этой сфере. Массу черной дыры мы вычислили. Но второй компонент — это около 1000 звезд на кубический парсек в объеме сферы радиусом 100 парсек, поэтому всего получается

1000 звезд/парсек3 4/3 (100 парсек)3 4 103 + 6 = 4 109 звезд.

Или, если предположить, что масса каждой звезды примерно равна солнечной, 4 миллиарда масс Солнца. Масса черной дыры составляет всего 1/1000 этой величины, в сущности, ей можно пренебречь. Цель этого упражнения — дать понять, что если мы хотим измерить массу черной дыры, нужно рассматривать движение объектов поблизости от нее, где эта масса доминирует, а на расстоянии в 100 парсек уже доминирует масса звезд внутри этого радиуса.

Черная дыра в центре Млечного Пути вовсе не уникальна. На самом деле подобные черные дыры находятся в центрах практически всех крупных галактик. Черная дыра в центре Млечного Пути достаточно близка, чтобы можно было измерить орбиты отдельных звезд и сделать выводы о ее массе. У других галактик мы можем наблюдать только суммарный света от множества звезд и опираться на эффект Доплера, чтобы вычислить их среднюю скорость. Однако вывод тот же: в центрах этих галактик тоже находятся черные дыры.

287

Решения

75. Сверхновые и Галактика

75. аДва процента массы Галактики — это 2 109 масс Солнца. Если каждая сверхновая дает 1 солнечную массу тяжелых элементов, речь идет о 2 109 сверхновых.