Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

54. еВремя, за которое Солнце испустит заданное количество энергии, — это просто энергия в джоулях, поделенная на светимость Солнца

(джоуль/секунда).

44

8 ×10 Дж

1 год

2

44−26−7

10 время =

×

= × 10 лет = 7 × 10 лет.

26

7

4 ×10 Дж / с 3 ×10 с 3

237

Решения

Чтобы дать столько энергии, Солнце должно светить 70 миллиардов лет (примерно в 7 раз больше реальной продолжительности его жизни).

И это только энергия видимого света: энергия гамма-излучения будет еще в 200 раз больше!

55. Бах-барабах!

55. аЭнергия Е фотона связана с его частотой v соотношением

Е = hv ,

где h — постоянная Планка. Частота, в свою очередь, связана с длиной волны соотношением

ν = с ,

λ

где с — скорость света. Поэтому вычислить энергию просто:

−

hc 2 / 3 ×

33

10 Дж × с × 3 × 8

10 м / с 2

−33+8+12

−

E =

=

= × 10

≈ 3 ×

14

10 Дж.

−

λ

7 ×

12

10 м

7

Нам дан поток фотонов в секунду на каждый квадратный метр. Нам нужно перевести это в яркость (энергия в секунду на каждый квадратный метр), а для этого необходимо определить количество энергии на каждый фотон. Но ведь именно это мы только что вычислили! Теперь все сводится к простому умножению:

количество фотонов энергия

11 фотонов яркость =

×

= 10

×

2

2 с×м фотон с×м

14

−

Дж

3

−

Дж

×3×10

= 3×10

.

2 фотон с×м

55. bМы только что нашли яркость b . Теперь осталось вычислить светимость L . Они связаны законом обратных квадратов: L = 4 d 2 b ,

где d — расстояние до объекта. Оно нам дано. Теперь подставим числа и, внимательно проследив, чтобы все световые годы были переведены в метры, получим:

238

Решения

L = 4 (5 104 световых лет 1016 м/световой год)2 3 10–3 Дж.

с × 2 м

Величина в скобках равна 5 1020 метров, что в квадрате даст 25

1040 метров2. Умножим 25 на 4 и получим 100; умножим на 3 и получим множитель 10. Тогда

L = 100 10 1040 10–3 Дж/с = 1040 Дж/с.

Теперь вспомним, что энергия высвободилась всего за 0,1 секунды, так что общая энергия — произведение этих чисел:

E = L t = 1039 Дж.

Сколько времени нужно Солнцу, чтобы выработать столько энергии? Мы знаем светимость Солнца (в джоулях в секунду), то есть скорость, с которой оно излучает энергию, и общее количество энергии 1039 Дж. Отношение общей энергии к скорости излучения даст время. Найдем это отношение, не забыв, что годы нужно перевести в секунды:

39 энергия

10 Дж

1 год

39−26−7−1

5 время =

=

×

= 10 лет = 10 лет,

26

7 скорость 4×10 Дж / с 3×10 с где мы приближенно приняли 3 4 = 10 (что угодно, лишь бы облегчить арифметику!). Таким образом, количество энергии, которое выделилось за

0,1 секунды при этом гамма-всплеске, эквивалентно количеству, которое

Солнце излучает за 100 000 лет.

55. сПоток фотонов связан со скоростью испускания фотонов по тому же закону обратных квадратов, что и яркость и светимость: количество фотонов в секунду поток =

.

2

4 d

π

Можно записать это выражение для двух случаев: наблюдаемого, на расстоянии d = 50 000 световых лет и с потоком f = 1011 фотонов с–1 м–2, 1

1

239

Решения и второго случая, в котором поток равен f =104 фотонов с–1 м–2, а рас-

2 стояние d нужно найти. В этих двух случаях скорость, с которой испускаются

2 фотоны, одинакова (ведь это один и тот же объект!). Тогда скорость испускания фотонов f =

.

1

2

4 d

π 1 скорость испускания фотонов f =

.

2

2

4 d

π 2

Поделим первое выражение на второе:

⎛ d ⎞2 f

2

=

⎜ ⎟

1,

⎝ d f

1 ⎠

2

(обратите внимание, что скорость испускания фотонов сократилась!) или, выражая d ,

2 f d =

1 d

,

2

1 f 2

Теперь подставим числа:

11 d =

× 10

50000 световых лет

≈ 50000 световых лет × 3 × 3

10

2

=

4

10

=

× 8

1,5 10 световых лет.

Значит, спутник «Свифт» может регистрировать подобные всплески в

150 миллионах световых лет от нас (то есть в умеренно далеких галактиках).

Обратите внимание, что мы сначала проделали как можно больше алгебры и лишь затем подставили числа. Как мы уже неоднократно убеждались, это верный путь: если бы мы подставили числа раньше, вычисления страшно запутались бы. Кроме того, мы могли бы исходить непосредственно из закона обратных квадратов, не прибегая к отношениям уравнений; это тоже было бы правильно, но тогда нам пришлось бы переводить значение светимости, полученное в части b), в фотоны, а это, в сущности, лишний труд.