Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

48. bТе же вычисления для нейтронной звезды дают

2π r 2 × π × 4 v =

=

10 м ≈ 4× 7

10 м / с.

P

1/ 600 с

Это огромная скорость, но все же меньше скорости света, поэтому с физической точки зрения такое возможно.

48. сЦентростремительное ускорение равно

4 10 м / с

2

(×

)2

7

16 × 14 a v r c =

/ =

=

10

2 м / с = 1,6 × 11

2

10 м / с,

4

4

10 м

10 то есть в 16 миллиардов раз больше ускорения свободного падения на поверхности Земли!

Дает ли сила тяжести необходимое ускорение? Ускорение свободного падения на поверхности нейтронной звезды равно

226

Решения

2

−

×

10 3

2

10 м / с кг × 2 × 2 × 30

10 кг

GM

g =

нейтронной звезды = 3

12

2

3 10 м / с.

2 r

(10 м)

= ×

2

4

Ускорение свободного падения больше центростремительного, поэтому его хватит, чтобы удержать вас на поверхности нейтронной звезды. Обратите внимание, что если бы нейтронная звезда вращалась еще в 3–4 раза быстрее, все было бы иначе — даже ее чудовищной гравитации не хватило бы, чтобы удержать вещество, и звезда разлетелась бы на куски. Поэтому астрономы не удивляются, что до сих пор, несмотря на активные поиски, не обнаружено пульсаров, которые вращались бы значительно быстрее, чем

600 оборотов в секунду. Нынешний рекорд принадлежит нейтронной звезде в шаровом скоплении Терзан 5, которая совершает 716 оборотов в секунду.

49. Жизнь на нейтронной звезде

49. аЭто сокрушительная гравитация. Сначала нам нужно вычислить ускорение свободного падения на нейтронной звезде:

2

−

×

10 3

2

10 м / с кг × 2 × 2 × 30

10 кг

GM

g =

нейтронной звезды = 3

12

2

3 10 м / с.

2 r

(10 м)

= ×

2

4

Чтобы поднять массу m = 1 грамм на 1 сантиметр, потребуется энергия mgh = 1 г 3 1014 см/с2 1 см = 3 1014 эрг = 3 107 Дж.

Это очень много энергии! Типичный рацион дает нам 2000 калорий 4

103 Дж/кал = 8 106 Дж в день, то есть для того, чтобы накопить достаточно энергии на подъем такой массы, придется есть 4 дня! О том, чтобы поднять собственное тело, например, встать, на нейтронной звезде, естественно, не может быть и речи.

49. bНам надо вычислить разницу ускорения свободного падения g между двумя точками, одна прямо на поверхности нейтронной звезды, то

227

Решения есть на расстоянии от центра r — в одном радиусе нейтронной звезды), 1 а другая чуть-чуть дальше (на расстоянии r ; разница между r и r — ваш

2

1

2 рост, скажем, 2 метра, — гораздо меньше и r , и r ).

1

2

Тогда

GM GM

⎛ 1 1 ⎞

Δ g =

−

= GM

−

.

2

2

⎜ 2

2 ⎟

r r r r

1

2

⎝ 1

2 ⎠

Здесь М — это масса нейтронной звезды.

Продолжим, следуя общему правилу, что всегда лучше придерживаться алгебры как можно дольше, а числа подставлять лишь в самом конце: 2

1 1 r r r r r r

2 − 2

1

(2 − 1)(2 + 1)

− =

=

.

2

2

2 2

2 2 r r r r r r

1

2

1 2

1 2

Здесь пора прибегнуть к некоторым приближениям. Мы знаем, что r — r = 2 метра, и тут все просто. Но еще мы знаем, что разница между r и

2

1

1 r очень мала по сравнению с обеими величинами, поэтому очень хорошим

2 приближением станет r + r 2 r и аналогично r 2 r 2. Подставив эти при-

2

1

1

2

1 ближенные значения в наше уравнение, получим

1 1 ( r r 2 r 2 r r

2 − 1) × 1

(2 − 1)

− ≈

=

.

2

2

4

3 r r r r

1

2

1

1

Так что теперь мы можем записать

2 GM ( r − r

2

1)

2 GM r g

Δ

Δ =

=

,

3

3 r r

1

1 где r = ( r — r ). В сущности, мы сейчас взяли производную, просто не стали

2

1 это так называть. Вы только что решили задачу из области дифференциального исчисления! Но мы можем поступить еще умнее и вспомнить формулу ускорения как такового:

= GM

g

.

2 r 1

228

Решения

Тогда мы можем переписать разницу в виде

Δ

Δ = 2 r g g ,

r

Что полезно, поскольку мы уже вычислили g в части а). Здесь мы ищем разницу в ускорении между ногами и головой. Для роста 2 метра это дает

2 м g = 2

3 1012 м/с2 109 м/с2.

4

10 м

Так что сила натяжения между вашими ногами и головой окажется в

100 миллионов раз сильнее земной гравитации. Вас разорвет в клочки, не успеете вы долететь до поверхности.

Эту задачу можно решить и по-другому, просто вычислив ускорение свободного падения на высоте 10 км и на высоте 10 км + 2 м, и взяв их разность. Это сработает, но только если взять большое количество значащих цифр; если бы требовалось сосчитать разницу ускорений на расстоянии, скажем, 1 мм, ни на одном калькуляторе для этого не хватило бы разрядов.