Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

,

23

−

15

3

1,4×10 ×10−

Дж×м где мы собрали все единицы размерности в конце выражения. Чтобы проделать арифметические расчеты, вынесем за скобки все степени 10 и получим

1

⎛ 1⎞2

9−36+22+

× ×

1

9 ⎜ ⎟ ×

15

10

К = × 10

10 К = 5× 9

⎝ ⎠

10 К,

3

6

2 или 5 миллиардов кельвинов. Чтобы упростить арифметику, мы приближенно приняли 6 1,4 10.

Пять миллиардов кельвинов — это очень жарко, даже слишком: температура ядра Солнца составляет около 15 миллионов кельвинов, то есть в 300 раз меньше нашей расчетной величины. Так что при прямолинейном

220

Решения подходе может показаться, что для термоядерного синтеза в недрах Солнца попросту недостаточно горячо.

45. bУ этой задачи несколько частей. Сначала нас просят проверить размерность выражения для длины волны де Бройля на предмет единиц длины. Вспомним, что 1 Дж = 1 кг м2 /с2, и обнаружим, что величина h / mv имеет размерность

×

кг × 2

Дж с = м × с = метры,

кг ×м / с с кг ×м чего мы, собственно, и ожидали.

Кинетическая энергия и температура газа связаны отношением

3 kT = 1 2 mv ,

2

2 решив которое для скорости, получим

= 3 kT

v

.

m

Здесь m — это масса несущейся частицы, в нашем случае протона.

Мы подставляем это выражение в выражение для длины волны де Бройля и получаем

λ = h =

h .

mv

3 mkT

Теперь мы готовы повторить вычисления из части а), подставив вышеуказанное выражение для вместо r в нашу формулу для температуры: 2

2

2

= qe = qe 3 mkT = 1 qe mkT

kT

.

3 r

3 h

3 h

Это выражение нам надо решить относительно T . Поделим обе части на kT , извлечем квадратный корень и получим

2 4

= 1 q e m

T

.

2

3 h k

221

Решения

Прекрасно, теперь можно и числа подставить:

2

(

4

1

1

Дж м

9 × 9

10)2

⎛

⎛

18 ⎞

26

× ⎞

−

−

×

4

⎜ ×10 ⎟ × × 10

×кулон ×

⎜

кг

2 ⎟

1

⎝ 6

⎠

6

⎝ кулон ⎠

T =

.

3

⎛

2

2

2

−33 ⎞

1

−22

(Дж×с) ×Дж /К

⎜ ×10 ⎟ × ×

⎝

⎠

10

3

6

Постоянную Больцмана мы взяли в приближенном значении 1/6 10–22, поскольку предвидели некоторые арифметические действия.

Все единицы мы вынесли в конец. Давайте сначала поработаем над ними. Обратите внимание, что все кулоны сокращаются; прекрасно. Теперь обратите внимание, что в числителе джоуль в квадрате, а в знаменателе —

в кубе, так что у нас остается размерность

2 м × кг К.

2

Дж × с

Вспомним, что джоуль — это кг м2/с2, и тогда вся первая часть сокращается, и остаются только К — единицы температуры. Это осмысленно!

Теперь займемся арифметикой. Для этого мы вынесем отдельно все численные множители и отдельно — все степени 10:

⎛ 1⎞5

2

9 × ⎜ ⎟

1

⎝ 6⎠

18−72−26+66+

×

×

22

10

К,

3 ⎛ 2⎞2 1

⎜ ⎟ ×

⎝ 3⎠ 6 а это превращается в

3 × 8 ≈ 1

10 K

× 8

10 K = 5× 6

10 K,

64

20 что в три раза меньше, чем реальная температура в ядре Солнца. На самом деле это число ближе к температуре ядра самого холодного белого карлика класса М (то есть звезды, чей массы едва хватает на термоядерный синтез в ее ядре). Приходим к выводу, что температуры внутри Солнца хватает для слияния протонов.

222

Решения

Эти вычисления первым проделал великий российско-американский физик Георгий Гамов в начале тридцатых годов прошлого века, когда астрономы еще не могли понять, благодаря каким процессам звезды светят.

Процесс слияния двух частиц на расстоянии одной длины волны де Бройля друг от друга называется квантовое туннелирование и упоминается в рассуждениях о природе ранней Вселенной в главе 23 «Большого космического путешествия».

46. Свойства белых карликов

46. аПараллакс звезды в угловых секундах связан с расстоянием до нее в парсеках: расстояние = 1/параллакс. Для заданного параллакса получаем расстояние 2,6 парсек, то есть 8,6 светового года.

46. bСолнце и Сириус В отличаются по яркости, поскольку у них разная светимость и они находятся на разном расстоянии от нас. Нам нужно отношение светимостей. Теперь мы знаем расстояние до Сириуса В, поэтому установим связь между яркостью и светимостью:

b

= L

/4 d 2

,

Сириуса В

Сириуса В

Сириуса В

b

= L

/4 d 2

.

Солнца

Солнца

Солнца

Возьмем отношение этих выражений и выразим из него отношение светимостей: