Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

87. У Вселенной нет центра

Объясните, как получается, что у Вселенной нет центра расширения, хотя она зародилась при Большом взрыве. Достаточно нескольких кратких абзацев.

88. Яркие квазары

Как рассказывается в главе 16 «Большого космического путешествия», квазары очень яркие, типичный квазар обладает светимостью в 1012 раз больше солнечной. Источники энергии квазаров — черные дыры: радиус

Шварцшильда типичной черной дыры квазара составляет 3 108 км. Подсказка: вычисления в этой задаче упростятся, если вы будете отталкиваться от своих знаний о свойствах Солнца, о которых рассказано в разделе «По-

лезные численные величины и формулы».

88. аКакова масса черной дыры с радиусом Шварцшильда 3 108 км?

Ответ выразите в массах Солнца.

88. bКакова температура поверхности сферического абсолютно черного тела с радиусом, равным радиусу Шварцшильда черной дыры из части

а), и светимостью в 1012 раз больше солнечной?

88. сНаблюдаемая яркость звезды класса G на главной последовательности (то есть звезда со свойствами Солнца) на расстоянии в 3000 световых лет и квазара со светимостью в 1012 раз больше солнечной одинакова. Каково расстояние до этого квазара? Ответ выразите в световых годах.

100

15—16. Ранняя Вселенная и квазары

89. Происхождение элементов

Одно из величайших достижений астрофизики ХХ века — объяснение происхождения химических элементов. Опишите это качественно в кратком сочинении. В частности, нужно затронуть следующие вопросы.

• Происхождение элементов в первые минуты после Большого взрыва.

Какие элементы синтезировались в ходе этого процесса?

• Формирование элементов в недрах звезд. Разница между маломассивными и массивными звездами с этой точки зрения.

• Значение железа как химического элемента.

15—16. Ранняя Вселенная и квазары

Часть III

ЭЙНШТЕЙН И ВСЕЛЕННАЯ

17—18. Эйнштейновский путь к специальной теории относительности

17—18

ЭЙНШТЕЙНОВСКИЙ ПУТЬ

К СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

90. Лоренц-фактор

2

В этой задаче мы исследуем природу функции = 1 v y

−. Эта вели-

2 c чина, которую принято называть Лоренц-фактором, — множитель в специальной теории относительности (СТО), показывающий, с какой скоростью стареет астронавт, движущийся со скоростью v . То есть вы проживаете n лет, наблюдая, как астронавт стареет на n у лет. Обратите внимание, что у всегда меньше или равен единице.

Начнем с изучения поведения этой функции при маленьких значениях v , а также при скоростях, близких к скорости света. Для этого нам придется обзавестись кое-каким математическим инструментарием. Если мы определим х = v / c , то сможем записать Лоренц-фактор как

2 y = 1− x .

90. аДля очень маленьких скоростей v ا с (то есть v много меньше с ) мы ожидаем, что у будет очень близок к единице (но все же не равен единице).

Тогда запишем у = 1 —, где ا 1. Наша задача — найти. Решите уравнение

2 y = 1− ε = 1− x ,

105

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная выразив через х . Сначала возведите обе части уравнения в квадрат, а затем учтите, что если очень мало, 2 — это совсем чуть-чуть, и дополнительными слагаемыми, в которые входит 2, можно пренебречь. Заполучив значение, выраженное через х , выразите Лоренц-фактор у через v и с для v ا с .

90. bТеперь возьмем противоположный предел, то есть скорости, очень близкие к скорости света. На этот раз запишем х = v / c = 1 —, где уже ا 1. Подставьте это выражение в уравнение для Лоренц-фактора; как и в части а), если значение мало, то значение 2 совсем мало и им можно пренебречь. Запишите уравнение для Лоренц-фактора и в этом случае.

90. сТеперь пора подставлять числа. Нарисуйте график Лоренц-фактора как функции скорости, где по оси х отложена скорость от 0 до скорости света, а на оси у величина от 0 до 1. Подставьте в уравнение много значений v и вычислите значение Лоренц-фактора в каждом случае; нанесите эти точки на график. График можете нарисовать и от руки, и на компьютере при помощи специальных приложений.

Теперь изобразите на том же графике две приближенных функции, которые вы вычислили в частях а) и b), и для малых, и для больших скоростей. Для какого диапазона скоростей приближенно годится каждое из этих решений? То есть, в каком диапазоне каждое из приближений дает результат в пределах 10 % от реальной величины?