Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

F = ma

2

GM ⊕ m v

= m .

2 r r

Найдем отсюда v :

GM

v

⊕

=

.

r

Множитель замедления времени, объясняющийся эффектами СТО, —

это уже знакомое нам выражение

2

2

1− v / c , что в нашем случае дает

GM

1

⊕

−

.

2 rc

Опять же обратите внимание, как это похоже на приведенное выше выражение для замедления времени, вызванного гравитацией. Это все тот же темп, в котором идут часы на орбите радиусом r относительно неподвижных часов на том же расстоянии r .

105. сВ части а) мы вычислили отношение темпов стационарных часов на радиусах r и r (объясняющееся эффектами ОТО), а в части b) мы вычислили

отношение темпов часов на орбите радиусом r и неподвижных часов на том же расстоянии r . Тогда отношение темпов часов на орбите радиусом r и неподвижных часов на поверхности — это просто произведение двух результатов: 1 2 GM

1

⊕

− 2 c

⎛

1 GM

r

⎞

× ⎜1

⊕

− ×

⎟.

2

1 2 GM

⎝

⎠

1

⊕

c r

− 2 c r ⊕

Это сложное выражение, и без некоторых приближений его не упростишь. Этим мы и займемся в следующей части.

330

Решения

105. dПослушаемся подсказки. Возведем обе части уравнения в квадрат:

1

1− x ≈ 1− x .

2

Тогда мы обнаружим, что

1

1 2

1− x ≈ 1− 2× x + x .

2

4

Если х очень мал, 1 2 x — это совсем чуть-чуть, и мы можем пренебречь

4 этой величиной; тогда правая часть превращается в 1 — х , что, очевидно, равно левой части. Если квадраты двух частей выражения равны, значит, изначальное выражение истинно. Обратите внимание, что эти вычисления похожи на решение задачи 90.

105. еСделаем первое из этих приближений. Согласно подсказке, запишем

1 ≈1+ x .

1− x

И проделаем алгебраические преобразования, чтобы получить результат, в истинности которого мы уверены. Если нам это удастся, можно не сомневаться, что и первоначальный результат был верен. Умножим обе части на 1 — х и получим

1 (1 + х )(1 — х ) = 1 — х 2.

Но мы знаем, что х ا 1, поэтому х 2 — это очень мало, и относительно 1 им можно пренебречь. Тогда вышеприведенное выражение дает нам очевидно истинное утверждение 1 1. Это доказывает истинность первого утверждения.

Второе утверждение доказывается подобным же образом: (1 — х )(1 — у ) = 1 — ( х + у ) + ху .

331

Решения

Но если и х , и у много меньше единицы, их произведение опять же очень мало, и им можно пренебречь. Тогда

(1 — х )(1 — у ) 1 — ( х + у ), что и требовалось доказать.

105. fТеперь упростим выражение, которое мы вывели в части с), при помощи разных хитрых приемов, которыми мы запаслись в частях d) и е).

В конце концов мы покажем, что приближения, согласно которым те или иные члены выражения оказывались гораздо меньше 1, верны. Сделаем все по частям и начнем с вычислений из части а). Запишем

1 2 GM

1

⊕

− 2 c

⎛

1 2 GM ⎞ ⎛

⎞

⊕

1 2 GM

r

≈ ⎜1−

⎟× 1

⊕

+

,

2

⎜

2

1 2 GM

⎟

1

⊕

⎝

c r ⎠

c r

−

⎝

⊕

⎠

2 c r ⊕

используя первое выражение из части е). Затем воспользуемся вторым выражением, выведенным в части е), и получим

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

2 2

1−

−

.

⎢ 2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

Это выражение мы умножаем на выражение из части b) и снова задействуем второе выражение из части d), чтобы упростить его до

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

3 2

1−

−

.

⎢ 2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

Почти готово! При помощи приемов, усвоенных в части d), мы теперь умеем упрощать выражения вида — (1 — х ), где х очень мал. Теперь наше выражение принимает вид

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

3 2

1−

−

.

⎢ 2

2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

332

Решения

Это и есть окончательный ответ.

Однако нам нужно оправдать применение всевозможных приближений.

Мы имели дело с разными выражениями вида (1 — х ), и в каждом случае х имел вид GM / rc 2. Самый маленький радиус r в рамках этой задачи (а следо-

вательно, r , при котором значение GM / rc 2 максимально), это r = r . Поэтому

подставим числа при r = r и увидим, что получится: 2