Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

326

Решения

103. dНа гранях между стенкой и донышками банки кривизна бесконечна: у нас неевклидова геометрия! Хотя искривление ограничено бесконечно малой областью, но если ее пересечь, получатся интересные отклонения от евклидовых предсказаний, например, треугольник с тремя прямыми углами.

В целом законы евклидовой геометрии справедливы только для плоского пространства. В этом случае пространство локально плоское почти везде, но если пересечь области, где оно не плоское, и возникают отклонения от законов Евклида. Углы треугольника, нарисованного целиком на стенке банки или на донышках, в сумме составят 180°, поскольку треугольник целиком разместится в локально плоской области.

1

3

3

2

2

A

B

C

2

Рис. 11.Решения к различным частям задачи 103.

327

Решения

104. Отрицательная масса

И Эйнштейн, и Ньютон сказали бы, что мяч упадет на пол. Ньютон сказал бы: пусть масса мяча равна m . На нее воздействует сила тяготения Земли

(массы М и радиуса r ) величиной GMm / r 2. Если приравнять это к массе, умноженной на ускорение мяча, получим а = GM / r 2, то есть ускорение не зависит от массы m , даже если она отрицательная. Ускорение направлено вниз, поэтому мяч упадет вниз.

Эйнштейн сказал бы: тела в гравитационном поле следуют по геодезическим линиям независимо от массы. Иначе говоря, однородное гравитационное поле эквивалентно системе отсчета, движущейся с ускорением: пол поднимается навстречу мячу, независимо от его массы.

Здесь стоит перейти обратно на ньютоновский язык. Обратите внимание, что масса выходит на сцену в двух разных ипостасях: есть инерционная масса, та, что участвует в отношениях между силой и ускорением F = ma , а есть гравитационная, из закона всемирного тяготения. Принцип эквивалентности, который сформулировал Эйнштейн, потому и работает, что эти две массы одинаковы и потому сокращаются в формуле ускорения. Изначально совсем не очевидно, что эти две формы массы одинаковы, и ученые придумали очень хитроумные эксперименты (погуглите «эксперимент Этвёша»), которые подтвердили, что инерционная и гравитационная масса — это и в самом деле одно и то же в пределах нашей нынешней способности их измерить.

Насколько нам известно, мячей отрицательной массы, подобным описанной в этой задаче, во Вселенной не существует, тем не менее, и ньютонова теория всемирного тяготения, и общая теория относительности обеспечивают нас лексиконом, позволяющим о них говорить. А вот антивещество — это реальное физическое явление, оно рождается и участвует во всевозможных столкновениях, изучаемых физикой частиц. Это то самое антивещество, которое при контакте с обычным веществом вызывает аннигиляцию обоих и превращение их совокупной mc 2 в энергию. Масса антивещества положительна. Эксперименты Этвёша проделывали и с частицами антивещества, 328

Решения и было показано, что принцип эквивалентности справедлив и для них: антивещество в гравитационном поле падает точно так же, как и обычное вещество.

105. Старение на орбите

105. аНам дан темп, в котором идут часы на расстоянии r относительно часов на бесконечном расстоянии. Нужно сравнить темп часов на расстоянии r относительно часов на расстоянии радиуса Земли (то есть на поверхности

Земли). Можно подойти к этой задаче, сравнив темп обоих часов относительно бесконечно удаленных. То есть часы на поверхности Земли идут в темпе на множитель

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r ⊕

медленнее, чем бесконечно удаленные часы, а часы на расстоянии r идут медленнее на множитель

1 2 GM

1

⊕

−

.

2 с r

Обратите внимание, что оба выражения меньше единицы, но поскольку r > r , стационарные часы на расстоянии r идут быстрее, чем на поверхности

Земли. Более того, относительный темп двух часов — это просто отношение этих двух выражений:

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r .

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r

Это выражение больше 1.

105. bСкорость астронавта на круглой орбите — величина, с которой вы уже сталкивались в предыдущих задачах. Круговое движение со скоростью v и на расстоянии радиуса r порождает ускорение v 2/ r , вызванное, 329

Решения как мы знаем, гравитацией. Тогда, если масса астронавта равна m , второй закон Ньютона гласит, что