Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Какое обескураживающее выражение! Чем массивнее черная дыра, тем меньше становится плотность. То есть существует такая масса, при которой черная дыра обладает плотностью бумаги, что, собственно, мы и хотели выяснить. Если собрать достаточно бумаги, чтобы получилась такая масса, она коллапсирует и образует черную дыру.

Стоит подчеркнуть, что настоящее вещество, из которого состоит сингулярность в центре черной дыры, гораздо меньше, чем ее радиус Шварцшильда, и обладает значительно большей плотностью. Это вещество, насколько мы понимаем, сжато в точку размером порядка планковской длины.

338

Решения

110. bПлотность — это масса на единицу объема. Если мы вычислим объем квадратного метра бумаги (массу мы знаем — 75 граммов), то сможем вычислить его плотность. Объем листа бумаги — это площадь, умноженная на толщину. Толщина равна 0,1 мм, или 10–4 м, поэтому объем квадратного метра бумаги равен 1 метр2 10–4 метров = 10–4 метров3. Тогда плотность бумаги равна

2

7,5×10− кг

2

3

ρ =

= 7,5×10 кг / м.

4

−

3

10 м

Это почти как плотность воды (немного меньше: не забывайте, что бумагу делают из дерева, а дерево плавает в воде!)

110. сЗдесь мы приравниваем выражение для плотности, которое нашли в части а), и плотность, которую вычислили в части b), и решаем это уравнение относительно массы. Начнем с алгебры:

6

3 с

ρ =

,

3

2

32 G

π M

6

3 c

M =

.

3

32 G

π ρ

Теперь подставим числа. Вот будет веселье, если мы сделаем все без калькулятора!

3(3×10 м / с)6

8

38

M =

≈ 3×10 кг.

32π(2 / 3×10− м с− кг−)3

10 3 2

1

2

3

×7,5×10 кг / м

Здесь мы приняли все приближения, как обычно: = 3, 32 = 10 и так далее. Надо выразить это в солнечных массах, поэтому поделим результат на 2 1030 кг (то есть на 1 массу Солнца) и получим 1,5 108 М

, что

Солнца и будет окончательным ответом. Черная дыра массой в 150 миллионов раз больше массы Солнца обладает плотностью листка бумаги!

Да нет же, это все просто научная фантастика! Ну что ж, «Путеводитель по галактике для путешествующих автостопом» и в самом деле научная

339

Решения фантастика, но существуют ли подобные невероятно массивные черные дыры? Безусловно, да: ядра массивных галактик, в том числе нашего Млечного Пути, и в самом деле содержат колоссальные черные дыры. Одна из самых массивных черных дыр, известных нам на сегодня, находится в ядре галактики Мессье 87 (M 87); ее масса, по оценкам, составляет 3 миллиарда солнечных.

Нам осталось найти Шварцшильдовский радиус такой черной дыры.

Можем подставить числа в формулу для радиуса Шварцшильда и считать себе на здоровье, но мы предпочитаем более простой подход. Нам известно, что радиус Шварцшильда пропорционален массе черной дыры, и кроме того, нам известно, что шварцшильдовский радиус черной дыры массой в 1 массу

Солнца равен 3 километрам. Поэтому черная дыра массой 150 миллионов масс Солнца имеет радиус в 150 миллионов раз больше, или 4,5 108 км.

Нас просят выразить это в а. е.; 1 а. е. равна 1,5 108 км, значит, радиус

Шварцшильда такой черной дыры равен 3 а. е.

110. dОбщая масса черной дыры нам известна. Если мы сможем вычислить массу одного листа бумаги, отношение этих величин даст нам общее число страниц. Вычислим массу одного листа бумаги. Нам известно, что квадратный метр бумаги имеет массу 75 граммов. Сколько квадратных метров в книжном листе обычного формата? Один дюйм — это 2,5 сантиметра = 2,5 10–2 метра. Тогда 8,5 11 дюймов2 100 дюймов2 6 10–2 м2.

Следовательно,

масса листа бумаги = 7,5 10–2 кг/м2 6 10–2 м2 5 10–3 кг.

То есть лист бумаги весит примерно 5 граммов. Поделим на это массу, которую мы вычислили:

38 масса книги с правилами

3×10 кг количество страниц =

=

=

3 масса одной страницы

5×10− кг / стр.

40

= 6×10 страниц.

340

Решения

Строго говоря, если правила напечатаны на обеих сторонах листа, надо умножить полученный результат на два. Да, и правда длинный список правил!

Наконец, отметим, что чем массивнее дыра, тем ниже ее плотность, как мы убедились в части а), а следовательно, вышеприведенная масса и число страниц «Правил броккийского ультра-крикета» — это лишь нижние пределы. То есть, если бы книга правил была еще больше, чем мы вычислили, она все равно коллапсировала бы в черную дыру.

Спасибо Александро Строссу, сыну Майкла, знающему «Путеводитель по галактике» практически наизусть, за то, что он нашел для нас цитату про броккийский ультра-крикет.