Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

111. Столкновение черных дыр!

Орбита каждой из черных дыр — это круг с радиусом, равным радиусу

Шварцшильда R

, а следовательно, с окружностью в 2 раз больше.

Шварцшильда

Ее период — это расстояние, поделенное на скорость света: 2π× R Шварцшильда период = 0,004 с =

.

c

Скорость света равна 300 000 км/с, и мы, применив обычное приближение = 3, упрощаем выражение до

R

= 200 км.

Шварцшильда

Нам известно, что массе Солнца соответствует радиус Шварцшильда около 3 километров, а у нас получилось число примерно в 60 раз больше.

Значит, каждая из черных дыр обладает массой в 60 солнечных. На самом деле, более точные расчеты с применением формул общей теории относительности показывают, что мы ошиблись в два раза: каждая из двух черных дыр имеет массу около 30 солнечных.

341

Решения

111. bСветимость — это энергия (3 массы солнца, помноженные на с 2), поделенная на время (0,02 с):

3 2 10 кг (3 10 м / с)2

30

8

49

L

× ×

× ×

=

≈ 3×10 Вт.

0,02 с

Обратите внимание, что, поскольку мы последовательно применяли единицы МКС, ответ с неизбежностью получается в ваттах.

111. сВычислить очень просто: 1011 светимостей Солнца на галактику, 1011 галактик, что дает общую светимость в 1022 светимостей Солнца. Умножим на светимость Солнца (около 4 1026 ватт) и получим общую светимость

4 1048 ватт, в 10 раз меньше, чем значение, найденное в части b). То есть за 1/50 секунды столкнувшиеся черные дыры выдали светимость примерно в 10 раз больше, чем все звезды во всех галактиках всей наблюдаемой

Вселенной. Потрясающе!

111. dРастяжение — это отношение изменения расстояния к самому расстоянию (4 км), а тогда изменение расстояния — это растяжение, умноженное на 4 километра. Вспомним, что в метре у нас 1010 ангстрем, в 1 километре 1000 метров, и тогда изменение расстояния составит 4 10–21 + 10 +3 ангстрем = 4 10–8 ангстрем. Это примерно 4 10–3 от радиуса протона. Просто удивительно, что мы способны зарегистрировать такой крошечный сигнал!

И еще удивительнее, что мы можем интерпретировать его как столкновение пары черных дыр, которое на краткий миг засияло ярче, чем вся остальная наблюдаемая Вселенная!

112. Добываем энергию из пары черных дыр

112. аКаждая невращающаяся черная дыра имеет сферический горизонт событий с радиусом Шварцшильда

2 GM

R

=

, поэтому площадь

Шварцшильда

2 c его поверхности составит

2

2

⎛ 2

4

4

GM

A

r

⎞

= π

= π⎜

⎟.

Шварцшильда

2

⎝ c ⎠

342

Решения

Первоначально таких черных дыр было две, поэтому общая первоначальная площадь их горизонтов событий вдвое больше: 2

⎛ 2

2

32

GM

A

A

⎞

=

= π⎜

⎟.

общ. нач.

2

⎝ c ⎠

112. bПлощадь горизонта событий черной дыры, возникшей в результате столкновения, должна быть больше общего первоначального значения

А

, которое мы нашли в части а):

общ. нач.

2

2

⎛ 2

4

32

GM

A

r

⎞

= π

> π⎜

⎟.

конечн.

Шварцшильда, конечн.

2

⎝ c ⎠

Однако радиус Шварцшильда итоговой черной дыры связан с ее массой обычной формулой:

2

2

⎛ 2 GM

⎞

конечн.

4 ⎜

⎟

32 ⎛ GM ⎞

π

> π⎜

⎟.

2

2

⎝

c

⎠

⎝ c ⎠

Сократим общие множители с обеих сторон, и у нас получится

M 2

> 2 M 2,

конечн.

то есть

M

> 2 M .

конечн.

112. сПервоначальная масса составляла 2 М , итоговая масса должна быть больше 2 M , тогда потерянная масса должна быть меньше разницы между двумя этими величинами, то есть (2− 2) M . Если масса потеряна в виде гравитационного излучения, верхний предел энергии, унесенной гравитационными волнами, равен этой величине, умноженной на с 2, то есть (−) 2

2

2 Mc .

112. dИзначально две черные дыры находятся на огромном расстоянии друг от друга, поэтому начальной гравитационной энергией можно пренебречь. Тогда общая масса-энергия системы первоначально составляла просто Е = 2 Мc 2, а доля, высвободившаяся в виде гравитационных волн, меньше

(2− 2) 2

Mc

(2−1,41421.)

=

= 0,29289.

2

2 Mc

2

343

Решения

То есть в гравитационные волны при столкновении двух черных дыр преобразуется меньше 29,3 % их первоначальной массы-энергии. На практике это количество значительно меньше, что зависит от подробностей столкновения. Как мы знаем из задачи 111, эксперимент LIGO позволил зарегистрировать гравитационные волны, возникшие при столкновении черной дыры массой 20 солнечных с черной дырой массой 36 солнечных, в результате чего образовалась черная дыра массой 62 солнечных. То есть в энергию в форме гравитационных волн перешло «всего» 3 массы Солнца — около