Александр Казанский - Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие

N = {1, 2, 3,}, множество натуральных чисел;

Z = {…, – 2, – 1, 0, 1, 2…}, множество целых чисел;

Q = {множество рациональных чисел};

R = {множество вещественных чисел};

С = {множество комплексных чисел}.

Чтобы задать множество, можно просто перечислить все его элементы, однако на практике составить такой список обычно довольно сложно. Например, если мы хотим составить список всех, живущих в данном городе, рост которых превышает 2 метра, то теоретически это вполне возможно, но в реальности получение списка для такого множества вызовет непреодолимые проблемы. Список можно применять, когда число элементов сравнительно небольшое. Еще один способ задания множества основан на так называемом принципе абстракции, который формулируется следующим образом:

для любого множества Х и любого свойства Р имеется множество А , такое что элементы А являются элементами Х и обладают свойством Р .

В этом случае множество можно задать, указав некоторое свойство, позволяющее выделить элементы множества из элементов основного множества.

Пример 1.1

(а) М = { x: x – нечетное целое число и x > 1}.

Здесь М является множеством, состоящим из положительных целых чисел, которые больше 1 и нечетные.

(в) А = { x: x – гласная буква английского алфавита}.

Здесь, a ∈ A, e ∈ A , но b ∉ A . Нетрудно заметить, что это множество можно задать и перечислением его элементов, т. е. А = { a, e, i, o, u, y }.

( с ) Пусть В = { x: x 2 + x – 2 = 0 },

C = {–2, 1 }, D = {–2, –2, 1, 1}.

В этом случае все три множества равны, т. е. B = C = D , поскольку множество не зависит ни от того, в каком порядке показаны его элементы, ни от того, сколько раз они повторяются, ни от того, как они получены.

( d ) Пусть A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 8}, C = { A, B }.

Множества А и В являются числовыми, а элементами множества С являются уже не числа, а множества, т. е. С является множеством множестви состоит из двух элементов. Элемент 2 ∉ C, несмотря на то что 2 ∈ A и A ∈ C .

Кроме этого, множество можно задать, определяя каждый его элемент по некоторому уже известному множеству. Например, N = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел. Определим новое множество, как множество степеней числа 3 {31, 32, 33, …}.

Множество может быть также задано при помощи операций над множествами.

При задании множества в любом приложении теории множеств обычно приходится сталкиваться с вопросом, к какому основному или универсальному множеству принадлежит рассматриваемое множество. Например, когда мы говорим о множестве студентов какой-либо группы, то универсальным множеством может быть как множество всех студентов университета, в котором учатся студенты этой группы, так и множество всех людей на планете. Это определяется целями конкретной задачи. Если надо найти некоторое множество точек на плоскости, то универсальным множеством будет множество всех точек плоскости. Универсальное множество обычно обозначается символом U .

Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым или несуществующим множеством и обозначается Ø .

Для любого элемента x можно сказать, что пустое множество обладает свойством x ∉ Ø . Пустое множество может возникнуть при задании множества U и некоторого свойства A – такого, что в U нет ни одного элемента со свойством A , например множество М = { x: x – натуральное число, для которого e x < 2x} не имеет ни одного элемента, т. е. является пустым. Имеется только одно пустое множество, и если М и S пустые множества, то М = S , поскольку они состоят из одних и тех же элементов, а именно из никаких элементов.

Выбирая из множества М какие-либо элементы, можно получить новое множество S , которое будет частью множества М или, как еще говорят, подмножеством множества М . Иначе говоря, множество М является подмножеством множества М , если каждый элемент S является также и элементом М . Это отношение записывается так:

S ⊆ M или M ⊇ S ,

что иногда читают, как S содержитсяв М или М содержит S .

Обычно принято считать, что часть «меньше» целого, однако в теории множеств это не так, поскольку каждое множество является подмножеством самого себя, т. е. M ⊆ M . Это свойство называют рефлексивностью.