Лев Бобров - По следам сенсаций

«Ещё со времён Зенона и его парадоксов, — продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, — все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении, шаг за шагом по дискретной последовательности значений а 1а 2, а 3… Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как х «приближается» к заданному значению xi, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах, Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие».

Парадоксально, но факт налицо: понятие «дифференциал» и тесно связанное с ним понятие «интеграл», взращённые на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Как же быть?

Вот прогноз профессора Лурье: «Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчётливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал ещё Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия «дифференциал» и «интеграл» к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических представлений».

Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь, мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой «почтенной реликвии атомистической эпохи», предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчётливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?

«В последнее время, — утверждает профессор С, А. Богомолов в книге «Актуальная бесконечность», — уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова «Ахилл не догонит черепаху» на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела».

И далее: «Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание учёных и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть… Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники…

Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.

Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого учёного Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддаётся объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца…»

Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чём же оно, это различие?

Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.

Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Всё плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. «Татуирование» бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг — поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были.

Однако предположим, что всё бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется «в наличии», так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить «иглоукалывание», но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причём для любой точки этого нового множества найдётся место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств!