Лев Бобров - По следам сенсаций

«Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, — говорит профессор С. Я. Лурье в книге «Теория бесконечно малых у древних атомистов». — Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Казальери, а с Демокрита».

Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это — нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю?

Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение dS/dt, введённое Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин — дифференциалов dS и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел ΔS/Δt = dS/dt при Δt стремящемся к нулю, — невольно напрашивается вывод, будто «дельта тэ» стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а «дельта эс» к dS и к нулю! А всё потому, что перед нами «ископаемые останки» атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших «атомов», как пределом для приращения «дельта эс» или «дельта тэ» будет уже не нуль, то есть ничто, а высота или, ширина этой неделимой геометрической крупицы: dS или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддаётся уразумению и равенство: предел ΔS/Δt = dS/dt Ибо при атомистическом подходе предел ΔS равен dS, а предел Δt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесён ещё Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла математика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?

Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И всё же сам термин «дифференциал» прокрался обратно через чёрный ход. Он как ни в чём не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку: dS/dt. Правда, сегодня в математики видят не бесконечно малую величину, а конечное приращение «дельта тэ». Что же касается dS/dt, то эта «дробь» в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу. Действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего «нуля» в знаменателе. Для этого числитель дроби ΔS/Δt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формуле разности появляется сомножитель «дельта тэ». Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на «дельта тэ». Ведь это не возбраняется до тех пор, пока «дельта тэ» не равно нулю. Так «дельта тэ» исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остаётся ещё одно «дельта тэ». Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе «дельта тэ» обращается в нуль. Так — сложно ли, просто ли — но для каждой функции удаётся ловким манёвром миновать нелепость:

ΔS/Δt = 0/0.

Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, чёрт побери, являются эти понятия сами по себе?

Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой.: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный «смысл в себе», и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.

Иначе рассуждают современные математики.

«Ни Ньютон, ни Лейбниц, — говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, — не смогли занять ту отчётливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о «бесконечно малых величинах», о «дифференциалах» и т. д.