Лев Бобров - По следам сенсаций

Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьём, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьём или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма «бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых». Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление её значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток… Теперь мы попросту отбрасываем желание «непосредственно» объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путём все трудности и устраняются, и всё, что ценно в анализе, приобретает твёрдую основу»..

Твёрдую основу? Но прежде чем ответить, давайте подведём итог: ни Ньютон, ни Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи они именно так, быть может, ещё больше отсрочилось бы открытие дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента расчётов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном, остались неразрешёнными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из существующих, но всё же протяжёнными «тельцами». Разлагая кривую на бесконечно большое количество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который считали отношением высоты к ширине геометрического «атома» — точки.

Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя приведённое геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже почти никто не объясняет ΔS/Δt по Лейбницу — как отношение бесконечно умаляющихся «дельта эс» и «дельта тэ». Ибо можно обойтись вообще без геометрических построений. Можно просто исключить «дельта тэ» из знаменателя путём чисто формальной процедуры.

«Чисто формальной» — значит не прибегающей к интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям — чертежам.

Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами «живописного искусства» геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свои выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике всё равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе — увы… Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, — дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла — скорей всего она будет прямолинейной. Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и «обсчитать» её по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяжённый отрезок — трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?

Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьёз полагал, будто молчаливая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских «нигилистов»? Она ещё в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?

«Движение есть сущность времени и пространства, — говорил Ленин. — Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и «пунктуальность» (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий».