Андрей Павлов: Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы

3. Найдите наименьшее натуральное число, которое, будучи разделено на 2, дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, но на 7 это число делится нацело.

4. Велосипедист, двигаясь по ветру, проезжает милю за 3 мин, а на обратном пути против ветра он преодолевает милю за 4 мин. Допустим, что он все время крутит педали с одинаковой силой, тогда, сколько ему понадобится времени, чтобы проехать милю при отсутствии ветра?

5. Один делец продал велосипед за 50 долларов, совершив тем самым эквивалентный обмен. Затем он выкупил его назад за 40 долларов, что, очевидно, принесло ему доход в 10 долларов, поскольку в итоге у него оказался тот же велосипед да еще 10 долларов впридачу. Далее, выкупив велосипед за 40 долларов, он продал его за 45 долларов, получив дополнительный доход в 5 долларов, так что общий доход составил 15 долларов.

– Постойте, – сказал бухгалтер. – Но ведь человек начал с велосипеда стоимостью в 50 долларов, а после вторичной продажи у него осталось 55 долларов. Как же он умудрился получить доход, превышающий 5 долларов? Ведь продав велосипед за 50 долларов, он просто совершил обмен, не получив дохода и не понеся убытков. Когда же он купил его за 40 долларов, а продал за 45 долларов, то получил при этом доход в 5 долларов. Вот и все.

– А я полагаю, – возразил счетовод, – что когда он продал велосипед за 50 долларов, а выкупил его за 40 долларов, то совершенно ясно, он получил доход в 10 долларов, ибо имел после этого тот же самый велосипед да еще 10 долларов. Но вот когда он вновь продал велосипед за 45 долларов, то просто совершил уже упомянутый ранее обмен, так что на этой операции у него не было ни дохода, ни убытков. Причем последняя операция не затронула первый доход; поэтому в итоге доход человека оказался равным 10 долларам.

Все эти операции крайне просты; относящиеся сюда подсчеты может сделать в уме любой первоклассник. И тем не менее перед нами три разных ответа! Который из них, по вашему мнению, правильный?

6. Решите уравнение

В ответе запишите значение выражения 161 ? х – 1.