Андрей Павлов - Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы

– Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете!

Охотник ушел, а лесорубы заспорили. Никита говорит:

– По-моему, деньги надо разделить поровну!

А Павел ему возражает:

– За 15 лепешек 15 р. И на лепешку приходится по рублю. У тебя было 6 лепешек, тебе 6 р., у меня 9 лепешек, мне 9 р.!

Кто из них сделал правильный расчет?

1. Число увеличено на 25 %. На сколько процентов нужно уменьшить результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число?

2. Три бегуна – Антон, Сережа и Толя – участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Сережа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Сережа – Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

3. Директор завода, рассматривая список телефонных номеров и фамилий своих сотрудников, заметил определенную взаимосвязь между фамилиями и номерами телефонов. Вот некоторые фамилии и номера телефонов из списка:

Какой номер телефона у сотрудника по фамилии Железнов?

4. На столе лежат в ряд пять монет: средняя – вверх орлом, а остальные – вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом? Ответ обоснуйте.

5. Точки К и М – середины сторон квадрата. Какую часть площадь закрашенного треугольника составляет от площади всего квадрата?

6. Сестре втрое больше лет, чем было брату тогда, когда сестре было столько лет, сколько брату теперь. Когда брату будет столько лет, сколько сестре сейчас, им обоим вместе будет 28 лет. Сколько сейчас лет сестре и сколько брату?

1. По углам бассейна квадратной формы стоят четыре столба. Потребовалось расширить этот бассейн так, чтобы площадь его стала в два раза больше, а форма осталась бы квадратной. Можно ли это сделать, не убирая столбов, причем так, чтобы все столбы остались стоящими по периметру бассейна? Если можно, то как?

2. Докажите, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

3. Внутренние покои дворца султана состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10x10. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. Сколько дверей во дворце?

4. Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых он выставляет испытуемому средний балл. Закончив отвечать, Джон понял, что если бы он получил за последний тест 97 очков, то его средний балл составил бы 90; а если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

5. Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом стуле. Ему известно, что из двух электрических стульев, стоящих в специальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо известно, что если он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет помилован. Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через день на все вопросы отвечает правду, а через день – ложь.

Приговоренному разрешается задать стражнику ровно один вопрос, после чего надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой вопрос Джо может задать стражнику, чтобы наверняка выяснить, какой стул неисправен?

6. Найдите такие натуральные числа х, у, z, что

1. Специально обученные собака и кошка участвуют в забеге: вперед по прямой до стены и обратно. Собака преодолевает за один прыжок 3 м, а кошка-только 2; но зато она делает 3 прыжка, в то время как собака делает 2. Скажите, каков при этих обстоятельствах возможный исход состязания, если до стены а) 12 м; б) 14 м; в) 15 м? Все ответы обоснуйте.

2. Один человек собирался построить дом и выяснил, что ему придется заплатить 1100 долларов обойщику и маляру, 1700 долларов маляру и жестянщику, 1100 долларов жестянщику и электрику, 3300 долларов электрику и плотнику, 5300 долларов плотнику и каменщику, 3200 долларов каменщику и маляру. Во сколько обошлось человеку строительство дома?