Андрей Павлов - Геометрия - Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Тогда sin ? = 12/13. Из прямоугольного ?DBС находим:

Применяя к треугольнику OBС теорему косинусов, получаем

Ответ:

Рис. 254.

Решение. Как видно из рисунка, диаметр окружности d совпадает с диагональю квадрата АВ. По теореме Пифагора

Ответ: 7?2 см.

Рис. 255.

Решение. Пусть сторона малого квадрата а, тогда диаметр d = 2Rкруга круга равен диагонали малого квадрата, т. е.

Но Rкруга – это половина стороны большого квадрата. Сторона большего квадрата

Ответ: 2:1.

Рис. 256.

Решение. MNKLPTQS – правильный восьмиугольник (см. рис.). Пусть РТ = х, тогда

из равнобедренного треугольника LCP

Из равенства LP = РТ получаем:

Ответ:

Рис. 257.

Решение. Очевидно, что MNKL – квадрат. Его диагональ NL = NE + FL + EF = 2NE + EF = 2NE + 1 (см. рис.). Так как NE – высота в равностороннем треугольнике BNC, то

Сторона квадрата

Ответ: 2 + ?3.

Рис. 258.

Решение. Можно, конечно, пуститься в достаточно длинные арифметические вычисления, но мы покажем самое простое и красивое решение. Раз площадь большого треугольника равна площади шестиугольника, то площадь этого треугольника в 6 раз больше площади треугольника ОАВ. А поскольку площадь правильного треугольника пропорциональна квадрату стороны, то его сторона в ?6 раз больше стороны АВ, т. е. сторона его будет равна 14?6.

Ответ: 14?6.

Рис. 259.

Решение. Пусть сторона равностороннего треугольника АВ = a;

Найдём радиус r вписанной окружности

Здесь р = 3a/2 – полупериметр правильного треугольника ABC.

Ответ: 2:1.

Рис. 260.