Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Здесь есть возможность читать онлайн «Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии» весь текст электронной книги совершенно бесплатно (целиком полную версию без сокращений). В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Город: Москва, Год выпуска: 2014, ISBN: 2014, Издательство: «Де Агостини», Жанр: Математика, на русском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

  • Название:
    Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии
  • Автор:
  • Издательство:
    «Де Агостини»
  • Жанр:
  • Год:
    2014
  • Город:
    Москва
  • ISBN:
    978-5-9774-0635-2
  • Рейтинг книги:
    4 / 5. Голосов: 1
  • Избранное:
    Добавить в избранное
  • Отзывы:
  • Ваша оценка:
    • 80
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии: краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии — читать онлайн бесплатно полную книгу (весь текст) целиком

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ

Является ли единственным кратчайший путь между двумя европейскими столицами, например, между Лондоном и Парижем? Ответ на этот вопрос положителен: существует только одна геодезическая линия, соединяющая эти города. Аналогично, уникален ли маршрут между Северным и Южным полюсами? Здесь ответ отрицательный: существует бесконечное количество геодезических линий, соединяющих эти две точки, так как они диаметрально противоположны.

* * *

Мир сферических треугольников

Мир сферических треугольников иллюстрирует много математических свойств эллиптической геометрии. Поэтому стоит его рассмотреть подробнее. Для начала рассмотрим на сфере радиуса R сферический треугольник с вершинами А, В, С и сторонами а, Ь, с.

Сумма углов и сумма сторон сферического треугольника Одним из результатов о - фото 101
Сумма углов и сумма сторон сферического треугольника

Одним из результатов, о котором мы уже говорили, является тот факт, что сумма углов сферического треугольника больше 180°, или πрадиан, и меньше 360° = 2 πрадиан. То есть

π< A+ В+ С< 2 π.

Таким образом, можно сказать, что сумма сторон сферического треугольника удовлетворяет неравенству:

a + b+ c< 2· π· R.

Площадь треугольника

Величина ( А + В + С — 180°) называется сферическим избытком, так что площадь сферического треугольника S находится по следующей формуле:

где R радиус сферы Следует отметить что чем больше площадь треугольника - фото 102

где R — радиус сферы.

Следует отметить, что чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов. Кроме того, чем больше площадь треугольника, тем больше сферический избыток, и именно поэтому больше значение А + В + С .

Длина окружности

В евклидовой геометрии имеется следующий результат: длина окружности радиуса r равна 2 πr. В эллиптической геометрии этот результат выглядит следующим образом: длина окружности радиуса r всегда больше, чем 2 πr.

* * *

ПЛОЩАДЬ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

Давайте решим следующую задачу: какова должна быть площадь сферического треугольника на поверхности Земли, чтобы сумма его углов была больше 180° хотя бы на 1°? По формуле для площади сферического треугольника имеем:

Мир математики т4 Когда прямые искривляются Неевклидовы геометрии - изображение 103

Мы хотим найти значение S , такое что

Мир математики т4 Когда прямые искривляются Неевклидовы геометрии - изображение 104

Отсюда получаем

Мир математики т4 Когда прямые искривляются Неевклидовы геометрии - изображение 105

Выражая S и подставляя 6350 км вместо R , имеем

Следовательно у любого треугольника на поверхности Земли площадь которого - фото 106

Следовательно, у любого треугольника на поверхности Земли, площадь которого равна или больше 703739,6319 км 2, сумма углов будет превышать 180° по крайней мере на 1°.

* * *

Теоремы синусов и косинусов

В сферической геометрии теоремы синусов и косинусов выглядят следующим об разом:

Теорема косинусов также работает после так называемой круговой перестановки - фото 107

Теорема косинусов также работает после так называемой круговой перестановки (замены а на Ь, b на с и с на а ).

Теорема Пифагора

И снова теорема Пифагора из евклидовой геометрии имеет свой аналог в другом геометрическом пространстве. Но в сферической геометрии теорема Пифагора ведет себя несколько иначе. В этой геометрии она формулируется следующим образом: пусть R — радиус сферы, с — гипотенуза, а и b — две другие стороны сферического треугольника, а угол С — прямой угол, тогда:

Для большей ясности это утверждение может быть выражено в словесной форме И - фото 108

Для большей ясности это утверждение может быть выражено в словесной форме. И хотя оно совсем не напоминает оригинальную теорему Пифагора, мы сформулируем его в любом случае:

«В любом прямоугольном треугольнике на поверхности сферы радиуса R косинус отношения гипотенузы с к радиусу R равен произведению косинусов отношений других сторон к радиусу».

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Похожие книги на «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии»

Представляем Вашему вниманию похожие книги на «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии» списком для выбора. Мы отобрали схожую по названию и смыслу литературу в надежде предоставить читателям больше вариантов отыскать новые, интересные, ещё непрочитанные произведения.


Отзывы о книге «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии»

Обсуждение, отзывы о книге «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x