ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ
Является ли единственным кратчайший путь между двумя европейскими столицами, например, между Лондоном и Парижем? Ответ на этот вопрос положителен: существует только одна геодезическая линия, соединяющая эти города. Аналогично, уникален ли маршрут между Северным и Южным полюсами? Здесь ответ отрицательный: существует бесконечное количество геодезических линий, соединяющих эти две точки, так как они диаметрально противоположны.
* * *
Мир сферических треугольников
Мир сферических треугольников иллюстрирует много математических свойств эллиптической геометрии. Поэтому стоит его рассмотреть подробнее. Для начала рассмотрим на сфере радиуса R сферический треугольник с вершинами А, В, С и сторонами а, Ь, с.
Сумма углов и сумма сторон сферического треугольника
Одним из результатов, о котором мы уже говорили, является тот факт, что сумма углов сферического треугольника больше 180°, или πрадиан, и меньше 360° = 2 πрадиан. То есть
π< A+ В+ С< 2 π.
Таким образом, можно сказать, что сумма сторон сферического треугольника удовлетворяет неравенству:
a + b+ c< 2· π· R.
Площадь треугольника
Величина ( А + В + С — 180°) называется сферическим избытком, так что площадь сферического треугольника S находится по следующей формуле:
где R — радиус сферы.
Следует отметить, что чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов. Кроме того, чем больше площадь треугольника, тем больше сферический избыток, и именно поэтому больше значение А + В + С .
Длина окружности
В евклидовой геометрии имеется следующий результат: длина окружности радиуса r равна 2 πr. В эллиптической геометрии этот результат выглядит следующим образом: длина окружности радиуса r всегда больше, чем 2 πr.
* * *
ПЛОЩАДЬ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Давайте решим следующую задачу: какова должна быть площадь сферического треугольника на поверхности Земли, чтобы сумма его углов была больше 180° хотя бы на 1°? По формуле для площади сферического треугольника имеем:
Мы хотим найти значение S , такое что
Отсюда получаем
Выражая S и подставляя 6350 км вместо R , имеем
Следовательно, у любого треугольника на поверхности Земли, площадь которого равна или больше 703739,6319 км 2, сумма углов будет превышать 180° по крайней мере на 1°.
* * *
Теоремы синусов и косинусов
В сферической геометрии теоремы синусов и косинусов выглядят следующим об разом:
Теорема косинусов также работает после так называемой круговой перестановки (замены а на Ь, b на с и с на а ).
Теорема Пифагора
И снова теорема Пифагора из евклидовой геометрии имеет свой аналог в другом геометрическом пространстве. Но в сферической геометрии теорема Пифагора ведет себя несколько иначе. В этой геометрии она формулируется следующим образом: пусть R — радиус сферы, с — гипотенуза, а и b — две другие стороны сферического треугольника, а угол С — прямой угол, тогда:
Для большей ясности это утверждение может быть выражено в словесной форме. И хотя оно совсем не напоминает оригинальную теорему Пифагора, мы сформулируем его в любом случае:
«В любом прямоугольном треугольнике на поверхности сферы радиуса R косинус отношения гипотенузы с к радиусу R равен произведению косинусов отношений других сторон к радиусу».
Читать дальше