Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Критики отмечают, что в доказательстве используется аксиома о непрерывности линий, отсутствующая среди евклидовых постулатов. Если эта аксиома не выполняется, то построенные окружности необязательно пересекутся. Следовательно, «Начала» — это не исчерпывающий математический трактат, а продукт культуры, в котором изложены все известные на определенный момент времени знания, заимствованные из разных культур. Некоторые даже осмеливаются заявлять, что именно «Начала» научили нас мыслить математически. Однако математическая мысль вовсе не ограничивается триадой «аксиома — теорема — доказательство», она может принимать и другие формы. Несмотря на то что в «Началах» описывается ряд алгоритмов, в частности алгоритм вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, нельзя сказать, что алгоритмы действительно составляют часть математической мысли, описанной в этом трактате. В разделе «Начал», посвященном алгебре, мы не встретим описания итеративных процессов, в которых последовательность приближений, найденных по определенному алгоритму, сходится к решению задачи. Эти идеи возникли позже и характерны для китайской, арабской и индийской культур. Евдокс, который, возможно, был современником Евклида, применил схожий подход в своих работах, которые, однако, не упоминаются в «Началах». Архимед, живший на 100 лет позже Евклида, вероятно, первым применил метод последовательных приближений для вычисления площади круга и получил самый точный результат своего времени. Понятие последовательности и ее сходимости спустя почти 2 тысячи лет дали начало анализу бесконечно малых. Возникает вопрос, как Евклид рассматривал анализ бесконечно малых: как процесс или как идею?

Бертран Рассел пошел дальше и заявил, что математика выводится из логики. Однако этот факт вовсе не означает, что логика — суть математики. Мы каждый день принимаем решения, которые можно обосновать при помощи логики, но не рассматриваем их как логические задачи. Мы принимаем решения с учетом множества факторов, и логика — лишь один из них. Мы очень часто опираемся на опыт, интуицию, аналогии, советы и бесчисленное множество других доводов, которые по истечении времени можно рационально обосновать. Но мы не всегда рассуждаем исключительно рационально. Так и математическая мысль и сама математика не сводятся к одной лишь логике.

Шульба-Сутры — единственный индийский математический текст ведического периода, то есть VIII–II веков до н. э. В нем приведены четкие методы построения алтарей квадратной или круглой формы для дома. Алтари, находившиеся в общественных местах, должны были иметь более сложную форму и содержать треугольники, ромбоиды и трапецоиды. В одном из таких алтарей элементарные многоугольники образовывали фигуру в форме птицы — возможно, это означало, что после жертвоприношения птица поднимет в небеса просьбу просившего.

Одна из задач заключалась в построении алтаря площадью в два раза больше данного. Эту простую геометрическую задачу можно решить на глаз и в численном виде. Второй способ предпочтительнее, если мы хотим заранее определить, сколько материала потребуется на изготовление алтаря. Первым способом решение находится мгновенно: достаточно построить квадрат на диагонали исходного. Полученный квадрат будет содержать ровно четыре половины исходного квадрата.

Численное решение основано на применении теоремы Пифагора или определении числа, которое при возведении в квадрат дает 2. В самом деле, какова длина стороны квадрата х , площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной с ? Посмотрим:

Шульба-Сутры также содержат описание алгоритмического метода вычисления квадратного корня из 2 путем последовательных приближений. Согласно этому методу, нужно добавить к длине стороны ее треть, затем — четвертую часть трети и, наконец, вычесть 30-ю часть четвертой части трети стороны. Иными словами, обозначив через с длину стороны квадрата, который нужно удвоить, имеем:

Выполнив указанные операции, вы увидите, что полученный результат — прекрасное приближение квадратного корня из 2 с точностью до пяти знаков после запятой: