Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Папирус Ахмеса, один из древнейших математических текстов, дошедших до наших дней.

Египтяне также строили амбары цилиндрической формы и рассчитывали их вместимость через площадь круглого основания. Правило вычисления площади круга звучало так: «вычти из диаметра его девятую часть и возведи полученное число в квадрат».

В задаче 41 требуется вычислить объем амбара с диаметром основания 9 локтей и высотой 10 локтей. Результат определяется умножением площади основания на высоту. При вычислении площади основания применяется указанное выше правило. Девятая часть от 9 локтей равна 1 локтю. Разность между ними равна 8 локтям. Возведя это значение в квадрат, получим 64 квадратных локтя. Умножив это число на 10, получим 640 кубических локтей. Точный ответ таков:

Результат, полученный по методу древних египтян, больше истинного всего на 0,6 %. Расхождение вызвано неявно используемым в этой формуле значением π — это единственное отличие египетской формулы от современной. Некоторые историки высоко оценивают древний метод именно потому, что в нем фигурирует достаточно точное значение π . Если мы сравним египетскую формулу с известной нам формулой площади круга, то увидим, что в ней соотношение между длиной окружности и ее диаметром, то есть π , принимается равным 3,16:

Однако внимания заслуживают два вопроса, которые, возможно, даже важнее, чем точность при вычислении π . Египтяне определяли объем фигуры как произведение площади ее основания на высоту. Как они пришли к этой формуле? Какие мысли, не зафиксированные в египетских папирусах, привели их к этой формуле?

По одной из гипотез, древние связывали площадь круга с площадью неправильного восьмиугольника, вписанного в квадрат стороной в 9 единиц.

Если мы хотим получить прямоугольную фигуру, по площади примерно равную кругу, то очевидно, что вписанный квадрат слишком мал, а описанный квадрат слишком велик. Среднее арифметическое площадей этих квадратов — не слишком точная оценка реальной площади круга, так как в ней число π принимается равным 3. Между прочим, именно такое значение π несколько веков использовалось в Древнем Египте и Месопотамии. Однако достаточно понаблюдать за тем, как колесо совершает полный оборот, чтобы убедиться: отношение длины окружности к ее диаметру очевидно больше 3.

Учитывая, что площади, в отличие от расстояний, нельзя измерить по земле, площадь круга можно оценить следующим образом: построить окружность, измерить ее длину, после чего вычислить ее по формуле и сравнить полученные результаты.

Какую формулу следует применить для расчета длины? Разумно ли принять длину окружности равной среднему арифметическому периметров вписанного и описанного квадрата? Возможно, да. Однако мы сталкиваемся еще с одной проблемой: найти периметр квадрата, вписанного в окружность, без теоремы Пифагора нельзя.

По одной из гипотез, египтяне принимали эквивалентным окружности неправильный восьмиугольник. Чтобы построить его, они делили стороны квадрата длиной в 9 единиц на три части каждую, для чего на сторонах квадрата отмечалось восемь точек. Далее эти точки соединялись линиями, и получался неправильный восьмиугольник, площадь которого визуально неотличима от площади круга.

Площадь круга равна 63,6 кв. ед. Площадь неправильного восьмиугольника отличается от нее менее чем на 1 %:

S k =9 2— 4·(1/2)·3 2= 81–18 = 63 кв. ед.

Еще одна гипотеза изложена в задаче папируса Ахмеса под номером 50. В ней площадь круглого поля диаметром 9 единиц принимается равной площади квадрата со стороной в 8 единиц. Автор папируса указывает, что подтверждение этого соотношения приводится в задаче 48. Задача 48 сопровождается рисунком, на котором изображен неправильный многоугольник, вписанный в квадрат. В центре обеих фигур записана цифра 8. Однако рисунок неточен: вписанный многоугольник имеет не восемь, а всего семь сторон, при этом одна из его сторон не полностью совпадает со стороной квадрата. Но здесь важно другое: почему египтяне думали, что круг диаметром 9 единиц эквивалентен квадрату со стороной 8 единиц?