Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Это первый шаг, который нужно сделать на пути к математическому творчеству: нужно задаться вопросами о мире, где мы живем, о том, что мы видим или делаем, и ответы на эти вопросы должны выходить за рамки субъективного и стремиться к чему-то объективному. По сути, нужно взглянуть на мир с научной точки зрения.

* * *

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Треугольник abcпрямоугольный <=> с 2= а 2+ Ь 2.

Это самая известная математическая теорема, которая ежедневно доказывается во множестве школ по всему миру. Однако доказательство, которое обычно приводится в учебниках, принадлежит не Евклиду (доказательство Евклида приведено в предложении 47 книги I «Начал»), а основано на разбиении квадрата на несколько фигур подобно головоломке.

В теореме Пифагора упоминаются площади, однако она традиционно используется для вычисления длин. Всегда доказывается прямая теорема (=>), обратная (<=) теорема не доказывается никогда, однако порой она также находит применение. В «Началах» обратная теорема приведена в следующем, 48-м предложении книги I.

* * *

С точки зрения математики Земля представляет собой сферу радиусом около 6370 километров. Горизонт — это наиболее удаленная часть поверхности планеты, видимая глазом. Создадим геометрическую модель этой ситуации. В ней горизонт определяется положением касательной к окружности.

Пусть Н( х ) — расстояние до видимого горизонта, х — наш рост (точнее, расстояние от поверхности земли до уровня глаз), R — радиус Земли. Получим прямо угольный треугольник, для которого можно применить теорему Пифагора:

Горизонт, видимый человеком при х = 1,7 м, находится от него расстоянии Н = 4653,8 м ( R = 6370 км).

Можно ли считать решение этой задачи математическим творчеством?

Создали ли мы что-то новое в математике? Мы применили известную теорему и получили формулу, которой ранее не существовало. Это первый, но не единственный и далеко не самый важный итог математического творчества, связанный с горизонтом. Суть творчества в данном случае описывается вопросом: сколько раз мы смотрели на горизонт и не задумывались о том, какое расстояние отделяет нас от него?

На втором плане находится созданная нами геометрическая модель, позволяющая применить математическую теорему. Только при взгляде на ситуацию с математической точки зрения мы представляем Землю как сферу, луч света — как прямую, наше тело — как кратчайшее продолжение радиуса сферы. Кроме того, мы свели трехмерную реальность к модели на плоскости, а сферу — к окружности.

* * *

ВБЛИЗИ ГОРИЗОНТА

В одном из своих произведений писатель Эдуардо Галеано расположил на горизонте утопию:

« Для чего нужна утопия? Она находится на горизонте. Если я подойду к горизонту на десять шагов, он отодвинется на десять шагов от меня. Для этого и нужен горизонт, — чтобы научиться ходить ».

С точки зрения математики эта цитата абсолютно верна, так как шаги откладываются на поверхности сферы:

* * *

В своей книге «Дух порядка. Исследование психологии декоративных искусств» австрийский историк искусства Эрнст Гомбрих описывает кельтские узлы. Их особенность заключается в том, что нить проходит через все выделенные точки на каждой стороне сетки с квадратными ячейками и возвращается в исходное положение.

Бесконечный узел — это узел, начало и конец которого совпадают:

Кельтские узлы не всегда являются бесконечными, или циклическими:

Возникает вопрос: почему одни узлы бесконечные, а другие — нет? Перед тем как начать поиск ответа, рассмотрим, как строятся такие узлы. Их основой является сетка с квадратными ячейками, на сторонах которых выбирается последовательность точек, через которые проходит нить узла: