Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Распределение вероятности Больцмана можно получить после серии операций с факториалами. Предположим, что у нас есть N 1частиц с энергией первого уровня, N 2 — с энергией второго уровня, и так далее. Нас интересует число возможных комбинаций для помещения N 1частиц в N мест. Для первой частицы у нас есть Nвариантов, для второй ( N— 1), и так далее до ( N— ( N 1— 1)). Это дает нам следующее количество состояний:

Поскольку нам не важен порядок, в котором мы расположим N 1частиц, мы должны разделить это на все их возможные комбинации, а именно на N 1!. Получаем:

Если мы осуществим ту же операцию для второго уровня, то получим похожую формулу, хотя в этом конкретном случае вместо N начальных возможностей у нас будет только ( N — N 1):

Мы можем применить это рассуждение ко всем энергетическим уровням. Общее число комбинаций будет результатом их умножения:

Далее видим, что большинство членов сокращается и остается выражение:

Это распределение вероятностей и вывел Больцман.

* * *

Зато если большинство частиц имеют энергию, приближенную к средней, у нас есть много вариантов для выбора. Следовательно, наиболее вероятная комбинация значений энергии — та, в которой большинство частиц имеет энергию, приближенную к средней, и только энергия некоторых сильно отличается от средней. Поскольку энергия и скорость частицы связаны, мы можем сделать тот же вывод о скоростях.

Из предыдущего рассуждения следует, что распределение скоростей молекул газа имеет форму, похожую на ту, что показана на графике на стр. 57.

Как видно из этого графика, пик скоростей находится вокруг наиболее вероятной скорости, и чем больше мы отдаляемся от него, тем сложнее найти частицу с такой скоростью. Результат совпадает с тем, что нам говорит здравый смысл. Представим себе, что у нас есть частица, которая движется очень быстро; рано или поздно она столкнется с другой и передаст ей часть своей энергии, после чего замедлится. Если частица движется очень медленно, рано или поздно она столкнется с другой, более быстрой, и ее скорость увеличится. А частица, движущаяся со средней скоростью, скорее столкнется с частицами, движущимися с той же скоростью, и, следовательно, она не приобретет и не потеряет энергию.

Хотя распределение скоростей, которое мы видели выше, было предложено Джеймсом Клерком Максвеллом(1831–1879) , именно Больцман подвел под его идеи теоретическое обоснование, поэтому его называют распределением Максвелла — Больцмана. В его математическом выражении используется экспоненциальная функция у основанная на числе Эйлера, е . Число е — это иррациональное число, приблизительно равное 2,71828. Вычисляется оно сложением следующего бесконечного ряда:

Точно так же как 2 3— это 2·2·2, е можно возвести в любую степень: е 3 = = е · е · е . Распределение Максвелла — Больцмана выражается с помощью экспоненциальной функции следующим образом:

где m — масса молекул газа, k — постоянная Больцмана, Т — температура газа и v — скорость молекулы. Экспонента быстро растет при росте v — поскольку 2 10намного больше, чем 2 2. Это означает, что вероятность найти молекулы с очень высокими скоростями должна быть очень маленькой. С другой стороны, когда v равна нулю, вероятность равна ему же, и это означает, что невозможно найти молекулу, которая находилась бы в состоянии покоя.

* * *

ЧИСЛО ЭЙЛЕРА

Число Эйлера — одно из самых важных в математике. Кроме того, что это иррациональное число, у него есть ряд поистине волшебных свойств. Возможно, самое интересное из них то, что экспоненциальная функция, е xравна своему угловому коэффициенту. Возьмем следующий график.