Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Софи Жермен.

* * *

Он показал, что если р — простое число, такое, что либо 4 р + 1, либо 8 р + 1, либо 10 р + 1, либо 14 р + 1, либо 16 р + 1 — простое, то первый случай теоремы Ферма доказан для данного показателя степени р . Лишь в 1977 году Тержанян доказал первый случай для всех четных показателей степени 2 р , где р — простое.

Если, например, мы рассмотрим показатель степени р = 5, то заметим, что 2 р + 1 = 11 — также простое число. Следовательно, согласно результатам Жермен, первый случай теоремы Ферма для этого значения доказан. Напротив, для р = 7 получим 2 р + 1 = 15, которое не является простым. Если руководствоваться только результатами Жермен, то для этого значения р теорема не доказана. Однако 4 р + 1 = 29 — простое, следовательно, если учитывать результаты Лежандра, первый случай теоремы Ферма доказан.

Доказательство Ламе

1 марта 1847 Габриель Ламе сделал грандиозное заявление в Парижской академии наук. Он нашел долгожданное доказательство теоремы Ферма для всех случаев! Этот французский ученый представил научному сообществу рассуждения, которые привели к такому результату. Рассуждения были просты и основывались на результатах, ранее полученных другими математиками. Он рассматривал поле комплексных чисел, где квадратный корень из минус единицы, √-1 существует и обозначается буквой i . На этом множестве х 2+ у 2превращается в произведение двух комплексных чисел ( х + yi )( x — yi ), таким образом, происходит переход от сложения к умножению. Теорема о прямоугольном треугольнике вместо традиционного вида

х 2 + у 2= z 2

записывается так:

( х + yi )( x — yi ) = z 2.

Последнее уравнение можно решить на множестве комплексных чисел в виде х + yi , где х, у — целые (это подмножество комплексных чисел получило название гауссовых чисел). Здесь х — вещественная часть, у — мнимая часть. Это множество во многом похоже на множество целых чисел: на нем без проблем можно выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Также на нем можно определить делимость и простые числа. Кроме того, на нем справедлива основная теорема арифметики: любое число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей. Интересным следствием этой теоремы является следующий факт: если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом, то каждое из этих двух чисел также обязательно является квадратом. Согласно этим рассуждениям поиск пифагоровой тройки равносилен нахождению примитивных решений х, у, z уравнения х 2+ у 2= z 2, то есть такого решения, где х, у, z не имеют общих делителей.

В подобном решении гауссовы числа х + yi, х — yi также не должны иметь общих делителей. Таким образом, необходимо найти два взаимно простых гауссовых числа, таких, что их произведение является квадратом.

В итоге если мы имеем примитивное решение для уравнения х 2+ у 2= z 2, то получим произведение двух взаимно простых гауссовых чисел, которое является квадратом. Следовательно, каждое из этих чисел также должно являться квадратом. Имеем:

х + yi = ( а + bi ) 2= а 2+ 2 аbi + ( bi ) 2= а 2— Ь 2+ 2 аbi .

Приравняв вещественные и мнимые части по отдельности, получим:

х = а 2— Ь 2,

у = 2 аЬ .

Эта формула упоминается уже в «Началах» Евклида и служит для нахождения пифагоровых троек. Ламе в своем доказательстве использовал аналогичные рассуждения. Уравнение Ферма х р + у р = z p с помощью комплексных чисел преобразуется в произведение. В этом случае множители должны содержать корни р -й степени из единицы. На множестве комплексных чисел аналогично тому, как 1 имеет два квадратных корня, +1 и —1, существует также р корней р -й степени, которые обозначаются 1, ζ, ζ 2, ζ 3 , …, ζ р-1 . Используя эти корни, мы можем записать следующее:

х р + у p = ( x + у )( x + ζу )( х + ζ 2 у )( х + ζ 3 у )…( х + ζ р-1y ) = z р .

Следовательно, первый шаг, на котором сумма преобразуется в произведение, выполним.

На следующем шаге мы рассмотрим числа вида

а 0 + а 1ζ + ζ 2а 2 + ζ 3а 3 + … + ζ p-1а р-1