Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Привлекательность теоремы в научном сообществе неуклонно росла. Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле(1805–1859) и француз Адриен Мари Лежандр(1752–1833) в 1825 году независимо друг от друга нашли доказательство для n = 5. В 1832 году Дирихле сделал еще один шаг и доказал теорему Ферма для n = 14. В 1839 году француз Габриель Ламе(1795–1870) вошел в историю, доказав теорему для n = 7. Восемь лет спустя он объявил, что ему удалось найти доказательство в общем виде, но он ошибался. Доказать теорему Ферма для нескольких частных случаев удавалось многим математикам. Учитывая, что простых показателей степени бесконечно много, получается, что доказательство теоремы должно было занять бесконечно много времени?

Портрет немецкого математика Иоганна Петера Густава Лежёна-Дирихле.

Неожиданное действующее лицо

Надежда на то, что несколько случаев можно объединить в рамках одного доказательства, появилась благодаря усилиям француженки Софи Жермен(1776–1831) — возможно, величайшей женщины-математика всех времен. В 1823 году она доказала, что если р и 2 р + 1 — два простых числа, больших 2, то х р + у р = z p не имеет примитивных решений (то есть взаимно простых), в которых xyz не делилось бы на р . Согласно правилам академии, женщины не могли подавать свои работы лично, поэтому результаты Софи Жермен были переданы научному сообществу Лежандром и его коллегой Огюстеном Луи Коши.

Как уже говорилось в предыдущей главе, если бы теорему удалось доказать для всех показателей степени, являющихся простыми числами, то она была бы доказана для всех натуральных. Аналогично нетрудно видеть, что если целые решения х, у, z имеют общий множитель, то, поделив обе части на этот множитель, мы снова получим целое решение. Следовательно, доказательство теоремы для примитивных решений является ее общим доказательством для всех случаев. Начиная с работ Жермен стали различать два случая на множестве решений. Первый случай — ни х , ни у, ни z не делятся на р . Второй случай — либо х , либо у , либо z делится на р . Как говорил Лежандр, «одним росчерком пера» доказательство Жермен превращалось в доказательство теоремы Ферма для первого случая, то есть для огромного множества чисел. Для тех чисел, которых не хватало, чтобы доказать теорему для всех чисел меньше 100, доказательство привел сам Лежандр.

Письмо Софи Жерменматематику Жозефу Луи Лагранжу. Благодаря этой французской женщине-математику в доказательстве последней теоремы Ферма был сделан большой шаг вперед.

* * *

РЕШЕНИЕ СОФИ

Софи Жермен родилась в Париже в 1776 году. Она была дочерью преуспевающего торговца шелком. В семье регулярно обсуждали политику и философию. В 13 лет Софи прочитала знаменитую историю о смерти Архимеда от рук римского солдата. Впечатленная девочка тоже решила стать математиком. В разгар французской революции родители держали ее взаперти почти восемь лет, чтобы защитить ее. Девушка воспользовалась случаем и начала изучать математику в родительской библиотеке. Софи днем и ночью украдкой читала книги Ньютона и Эйлера.

Решение Софи посвятить жизнь науке было совершенно неслыханным по тем временам. Но Софи твердо стояла на своем, и родным оставалось только смириться с ее выбором. В недавно основанную в Париже Политехническую школу, где преподавали ученые уровня Лагранжа, женщины не допускались. В 18 лет Софи выдала себя за бывшего ученика этой школы и друга ее семьи Антуана Огюста Леблана, чтобы обзавестись конспектами лекций. Под этим же псевдонимом она представила Лагранжу несколько своих работ. Потрясенный, он назначил ей встречу. Софи не оставалось другого выхода, кроме как раскрыть свое лицо, и Лагранж, очень удивившись, предложил ей заниматься у него, что, в свою очередь, позволило ей участвовать в научных собраниях.

Под тем же псевдонимом Жермен поддерживала переписку с Гауссом. Узнав настоящее имя Жермен, в 1806 году Гаусс пишет ей: «Вкус к абстрактным наукам и, прежде всего, к загадкам чисел сам по себе редок. <���…> Но когда женщина из-за своего пола и наших предрассудков встречается со значительно более трудными препятствиями, чем мужчина… и преодолевает эти барьеры и проникает в тайны мироздания, она, несомненно, проявляет благородную смелость, исключительный талант и высшую гениальность». В 1811 году Жермен стала единственной участницей конкурса, который проводила академия наук с целью найти математические основы колебаний тонких пластинок. Ей отказывали дважды, и в 1816 году она наконец выиграла премию и стала первой женщиной, получившей право посещать заседания академии (не считая жен членов академии). В 1830 году Гёттингенский университет присуждает ей почетную степень, но через год Жермен умирает, так и не успев получить ее.